3.3.2. Длина дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями
Пусть дуга AB задана параметрическими уравнениями
,
(*)
где x(t),
y(t)
– непрерывно дифференцируемые функции
на отрезке
и x(t)
– монотонная функция. Тогда длина s
дуги AB
вычисляется по формуле
.
(3.7)
Действительно, пусть
сначала функция x(t)
монотонно возрастает на отрезке
.
При сделанных предположениях относительно
функций x(t)
и y(t)
уравнения (*) определяют дифференцируемую
функцию y
= f(x)
и длина дуги может быть вычислена по
формуле
,
где
.
Сделаем в этом интеграле замену переменной
x
= x(t).
Учитывая, что
и
,
получим
.
В случае, когда
функция x(t)
монотонно убывает на отрезке
,
будет выполняться неравенство a
> b
и длина дуги будет равна
.
Делая в интеграле замену переменной x
= x(t)
и учитывая, что теперь
и
,
получим
.
Пример.
Вычислить длину дуги полукубической
параболы
,
отсеченной
прямой
x
= 1 (рис. 16).
Рис. 16
Решение. Длина
s
дуги AOB
равна удвоенной
длине дуги AO.
Значение параметра t,
соответствующее точке A
пересечения параболы с прямой, найдем
из системы уравнений
.
Получим
.
Аналогично t0
= 0. Тогда
.
Замечание.
Для длины s
дуги пространственной кривой x
= x(t),
y
= y(t),
z
= z(t),
,
где
x(t),
y(t),
z(t)
– непрерывно дифференцируемые на
отрезке
функции, может быть получена
формула
.
3.3.3. Длина дуги кривой в полярных координатах
Пусть полюсом и
полярной осью полярной системы координат
являются начало координат O
и
ось x
декартовой системы координат. Обозначим
через
– полярные координаты точки (x,
y),
так что
.
Пусть дуга AB
задана уравнением
,
где
– непрерывно дифференци-руемая функция
на отрезке
.
Тогда длина s
дуги AB
вычисляется по формуле
.
(3.8)
Действительно, при будем иметь параметрические уравнения дуги AB: x = r()cos, y = r()sin, a £ j £ b.
Тогда по формуле (3.7) длина s дуги AB будет равна интегралу .
.
Найдя
и преобразовывая подкоренное выражение,
получим:
и
.
Пример.
Вычислить
длину кардиоиды
.
Решение. Длина s всей кардиоиды равна удвоенной длине ее дуги, вдоль которой изменяется от 0 до (рис. 17), так что
.
Рис. 17
Имеем:
и
.
3.3.4. Дифференциал переменной длины дуги
Пусть дуга AB задана уравнением , где функция y(x) непрерывно дифферен-цируема на отрезке [a, b]. Будем рассматривать на этой дуге переменную точку C с абсциссой x. Тогда длина дуги AC будет функцией s(x) переменной x:
.
(Здесь мы воспользовались тем, что определенный интеграл на отрезке [a, x] не зависит от того, какой буквой обозначается переменная интегрирования.) Функция s(x), как интеграл с переменным верхним пределом, дифференцируема и ее производная и дифференциал, соответст-венно, равны:
.
(3.9)
Аналогично для дуги, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), , где x(t), y(t) – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции, длина s(t) переменной дуги будет функцией t, определяемой равенством
и ее дифференциал будет равен
.
(3.10)
В случае дуги с
уравнением в полярных координатах
имеем аналогично
.
Для пространственной кривой x = x(t), y = y(t), z = z(t), где x(t), y(t), z(t) - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , имеем
.
(3.12)
Так как
,
то s(t)
монотонна и имеет обратную функцию t
= t(s).
Следовательно, длина дуги может служить
параметром и уравнения кривой тогда
примут вид
,
,
,
,
где
.
Эти уравнения называются натуральными
уравнениями
кривой.