11.2. Номінальна та ефективна ставки відсотків

Як правило, прийнято капіталізувати відсотки не раз, а кілька разів на рік. Число разів нарахування відсотків на рік позначимо літерою m. Річна ставка відсотків, яка називається номінальною, позначається j. Тоді в кожному окремому періоді нараховується j/m — ставка відсотків. Нарощену суму визначають за формулою:

S = P (1 + j/m)^mn.

Приклад 4. Кредит надано в розмірі 1000 грн. на 5 років під 12 % річних. Відсотки на суму боргу нараховуються щомісячно. Необхідно визначити величину боргу наприкінці строку позички.

Розв’язання: S = P (1 + j/m)^mn = 1000 (1 + 0,12/12)^12·5 = 1816,7 грн.

Збільшення m призводить до більш швидкого процесу нарощення. Це відбувається тому, що відсотки нараховуються частіше і реальний відносний дохід, який отримує кредитор, виявляється більшим, ніж номінальна ставка відсотків. Для того, щоб виміряти ефективність цієї операції, використовують ефективну, або дійсну, ставку відсотків, яка відображає той реальний дохід, який одержують від однієї грошової одиниці на рік. Ця ставка також показує, яка річна ставка надає той самий фінансовий результат, що і m-разові нарахування на рік за ставкою j/m.

Ефективну ставку можна знайти, виходячи з її визначення. Оскільки вона призводить до того ж фінансового результату, що і ставка j/m при m-разовому нарахуванні відсотків на рік, то множники нарощення по цих ставках повинні бути рівні.

Отже, можна записати таке рівняння:

(1 + і)ⁿ = (1 + j/m)^n·m.

Звідси — ефективна ставка відсотків визначається за такою формулою:

I = (1 + j/m)^m – 1.

Приклад 5. Номінальна ставка 6 % річних, відсотки нараховуються кожні півроку. Визначити ефективність цього процесу нарощення.

Розв’язання: i = (1 + j/m)^m – 1 = 1,03² – 1 = 6,09 %.

Це означає, що позичка, яка надана під 6 % річних за умови, що відсотки нараховуються два рази на рік, принесе кредитору відносний дохід у розмірі 6,09 % на рік. Заміна в договорі номінальної ставки j при нарахуванні відсотків m разів на рік на ефективну ставку i не змінює фінансових зобов’язань сторін, які беруть участь у договорі, тобто учасникам фінансової угоди байду­же, яку використовувати ставку: або 6,09 % при нарахуванні відсотків один раз на рік, або 6 % при нарахуванні відсотків один раз на рік.

Якщо необхідно визначити на основі ефективної номінальну ставку, то можна використати таку формулу:

j = m ((1 + i)^1/m – 1).

Ця ситуація може виникнути тоді, коли кредитор хоче отримати дохідність за рік у розмірі і і нараховуються відсотки m разів на рік. Тоді йому необхідно проставити в угоді річну ставку відсотків j.

11.3. Облік (дисконтування) за складною ставкою відсотків

У фінансовій практиці досить часто зустрічаються із завданням зворотного визначення нарощеної суми: за заданою сумою S, яку слід заплатити через деякий час n, необхідно визначити суму P. Ця ситуація виникає, коли відсотки утримаються безпосередньо при видачі позички. В даному разі кажуть, що сума S дисконтується. Різницю S – P = D називають дисконтом.

Розрізняють два методи дисконтування — математичне дисконтування і банківський облік.

Математичне дисконтування застосовують у тих випадках, коли за заданими S, n та i необхідно знайти P:

,

де — множник дисконтування.

Величину P, якщо вона визначена за S, називають дисконтованою величиною S, або сучасною величиною платежу S, або теперішньою вартістю.

Величину V ⁿ називають обліковим, або дисконтованим, множником.

Якщо відсотки нараховуються m разів на рік, формула матиме такий вигляд:

.

Дисконтний множник дорівнює

.

Приклад 6. Необхідно визначити, яку суму треба покласти на рахунок у банк, що нараховує 10 % річних за складною ставкою відсотків, щоб через 5 років отримати суму в 1000 грн.

Розв’язання: грн.

Величина P характеризує ту початкову суму, нарахування відсотків на яку дає величину S. Суми P i S пов’язані між собою строком і відсотковою ставкою та еквівалентні: платіж S через n років рівноцінний сумі P, яка виплачується в теперішній час. Різницю S – P називають дисконтом.

D_i = S – P = S(1 – V ⁿ); D_j = S – P = S (1 – V ^mn).

Властивість сучасної величини полягає в тому, що чим вища ставка відсотків, тим сильніше дисконтування і більшою мірою зменшується P за всіх інших рівних умов.

Вплив строку платежу:

Співвідношення дисконтних множників (проста й складна відсоткові ставки):

для строку менше за рік — (1 + ni_n)^–1 < (1 + i_c)^–n;

для строку більше за рік (1 + ni_n)^–1 > (1 + i_c)^–n.