3.2. Длина дуги кривой

Длина дуги вычисляется по следующим формулам:

- в декартовой системе координат при условии,

что кривая задана явно

l= - при параметрическом задании кривой,

где

- в полярной системе координат, если

кривая задана уравнением

Пример 1. Найти длину линии от точки

до точки .

Решение: Линия задается явно в декартовой системе координат. Очевидно,что .

Так как на рассматриваемом промежутке , то

= = =

= = = (ед.).

Отметим, что при вычислении интеграла мы воспользовались заменой:

Пример 2. Найти длину кривой

.

Решение: Кривая задана параметрически. Легко видеть, что

= =

= =

= = = .

Так как на промежутке выполняется равенство = , то

= = (ед.).

3.3.Объем тел вращения

Пусть дана криволинейная трапеция, где - непрерывная функция. Если ее вращать вокруг оси абсцисс, то получим тело, объем которого вычисляется по формуле

Если аналогичную трапецию вращать вокруг оси ординат, то получим тело, объем которого считается по формуле

Пример 1. Криволинейная трапеция, ограниченная координатными

осями, прямой и кривой вращается вокруг: а) оси абсцисс;

б) оси ординат. Найти объем полученных тел вращения.

Решение: а) Ясно, что

.

б) На рис. 8 изображено тело, объем которого мы будем находить.

Так как , то изменяется в интервале . Кроме того, надо явно выразить x через y . Так как , то отсюда . Тогда

Вычисление интегралов производилось с по-

мощью формулы интегрирования по частям.

В первом случае мы полагали

,

а во втором случае - .

Рис.8