1.5. Интегрирование по частям
Если
и
– дифференцируемые функции, то справедлива
формула интегрирования по частям:
.
Формула применяется в случаях, когда интеграл, стоящий в правой части, оказывается проще исходного интеграла.
Применяется формула в следующих случаях:
1.
Подынтегральная функция есть произведение
многочлена на показательную или
тригонометрическую функцию.
В этом случае в качестве
выбирается многочлен
.
Это интегралы вида:
Пример
1. Найти
.
Решение:
2. Подынтегральная функция есть произведение степенной на логарифмическую функцию или обратную тригонометрическую функцию, их обычно и следует принимать за .
Это
интегралы вида:
Пример
2. Найти
.
Решение:
Кроме перечисленных встречаются и другие интегралы, берущиеся по частям.
3. Рекуррентные формулы. Это интегралы вида:
и другие.
Пример
3.
Решение:
Последний интеграл еще раз проинтегрируем по частям:
Т.е.
Решая интегральное уравнение, получим:
1.6. Интегрирование тригонометрических выражений
Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.
1.6.1. Интегралы вида:
,
,
.
Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются тригонометрические формулы:
.
Пример
1. Найти
.
Решение:
Находим интеграл, преобразуя подынтегральное
выражение
.
Пример
2.
.
Решение: Преобразуем подынтегральное выражение по формуле произведения косинусов:
=
Пример
3.
.
Решение: По формуле произведения синусов преобразуем подынтегральное выражение:
=
1.6.2.
Интегралы вида
.
Если
одно из чисел
или
- нечетное число, то отделяя от нечетной
степени один сомножитель и выражая с
помощью формулы
оставшуюся четную степень через
дополнительную функцию, приходим к
табличному интегралу.
Пример
4.
.
Решение:
Пример
5.
.
Решение:
-
-
Пример
6.
.
Решение:
=
=
Пример
7.
.
Решение:
1.6.3. Интегралы вида
Интегралы
такого вида приводятся к интегралам от
рациональной функции нового аргумента
универсальной тригонометрической
подстановкой
.
При этом используются формулы:
Пример
8.
.
Решение:
=
.
Если
подынтегральная функция содержит
и
только в четных степенях или зависит
только от
,
то возможна подстановка
.
При этом
Пример
9.
.
Решение:
.
1.7. Интегрирование иррациональных выражений
1.Интегралы
вида
,
где
подынтегральная функция – рациональная
функция своих аргументов,
-
целые числа
,
вычисляются с помощью подстановки
,
где
-
наименьшее общее кратное знаменателей
дробей
.
Пример
1.
.
Решение:
В
подынтегральном выражении выделим
целую часть:
,
Пример
2.
.
Решение:
1.7.2.
Интегралы вида
,
где
- рациональная функция двух аргументов,
вычисляются с помощью тригонометрических
подстановок следующим образом. Выделяя
полный квадрат в квадратном трехчлене
и делая замену переменной .., приводим
исходный интеграл к интегралу одного
из трех типов, в которых делаем
соответствующие замены переменной:
1)
,
замена переменной
;
2)
,
замена переменной
;
3)
,
замена переменной
.
Пример
3. Найти интеграл
.
Решение:
=
=
=
Пример
4. Найти интеграл
.
Решение:
=
=
=
Пример
5. Найти интеграл
.
Решение:
