5. Минимизация фал

Необходимость минимизации продемонстрируем на примере синтеза КЦА, функционирование которого определяется таблицей 5.

И

N	x2	x1	y
0	0	0	1
1	0	1	0
2	1	0	1
3	1	1	1

Таблица 5

з 2.16 получаем СДНФ функции:

(2.17)

В то же время, выражение (2.17) можно упростить, используя распределительный закон:

(2.18)

П

рис.5

о выражениям (2.17), (2.18) реализуем два варианта КЦА:

(рис.5) в базисе И, ИЛИ, НЕ

Схема устройства построенного по выражению (2.18) , реализует ту же функцию существенно меньшим числом логических элементов. Такое устройство будет экономичней и дешевле, следовательно, перед реализацией КЦА логическую функцию необходимо упростить или минимизировать. Строгое решение задачи минимизации должно учитывать, кроме того, коэффициенты объединения и разветвления логических элементов, число их в корпусе микросхемы, стоимость каждого корпуса и т.д. Известные в настоящее время математические методы упрощения в таком объеме задачу не решают. В данной работе изучается способность минимизации ФАЛ по следующему критерию:

Критерий минимизации - получение (тем или иным способом ДНФ функции с минимальным числом вхождений аргументов из исходной СДНФ функции.

При рассмотрении методов минимизации ФАЛ, большее значение имеет понятие смежных минтермов – т.е., отличающихся формой вхождения только одной переменной (в один минтерм переменная входит в прямой форме, в другой - в инверсной).

Пример: соседние минтермы и .

Метод Кванта

Метод основан на последовательном применении к функции в СДНФ тождеств булевой алгебры и следующих двух операций:

а) склеивания

(2.19)

(2.20)

б) поглощения

, где (2.21)

- некоторая функция К аргументов.

Пример: минимизировать функцию.

Смежные минтермы здесь 1 и 4; 1 и 2; 2 и 3. Производя склеивание (т.е. применяя вначале 2.19, а затем 2.21) минтермов 1 и 4 получим:

и склеиваем его со вторым минтермом

склеиваем второй и третий минтермы:

,

получив таким образом ДНФ, следовательно дальнейшее упрощение невозможно. На практике иногда полученную функцию требуется перевести с помощью тождеств булевой алгебры в требуемый базис.

Метод Вейча – Карно

Метод является геометрической иллюстрацией метода Квайна и основан на представлении минимизируемой функции в виде диаграмм Вейча или Корт Карно, облегчающих операцию склеивания за счет того, что смежные минтермы оказываются в геометрической близости друг от друга. Диаграммы Вейча представляют собой прямоугольные таблицы, разделенные горизонтальными и вертикальными линиями на ячейки, общее число которых совпадает с числом минтермов или возможных комбинаций аргументов. В каждую ячейку заносится значение одного минтерма, причем размещение последних осуществляется таким образом, чтобы два смежных минтерма (сравните с (2.19)) находились в соседних ячейках. Такой порядок размещения минтермов обеспечивается принятым способом образования наборов аргументов, соответствующих различным ячейкам диаграммы.

Н

рис.6

а рис.6 приведены примеры диаграммы Вейча для двух, трех, четырех (переменных), а также показано соответствие ячеек и минтермов.

Здесь линиями, рядом с обозначение переменных, обозначены зоны вхождения соответствующей переменной в прямой форме, во всех других ячейках эта переменная входит в инверсной форме.

Алгоритм минимизации

1. Отметить единицей те ячейки диаграммы Вейча , которые соответствуют минтермам, входящим в СДНФ минимизируемой функции, либо присутствуют в табличном ее задании и на которых значение функции равно 1. Остальные ячейки либо остаются незаполненными, либо отмечаются нулями.

П

ример: для функции заданной таблично (табл.4) имеем диаграмму Вейча.

2. Считывается и записывается минимизированная функция по следующим правилам:

а). Минимизированная функция равна сумме ( по числу контуров) произведения только тех переменных , которые входят в данный контур, не меняя знака (т.е. либо только в прямой, либо только в инверсной форме);

б). В контур можно объединить только 1,2,4,8 …2 ^к единиц, причем они должны составлять строку, столбец (или их часть), прямоугольник или квадрат, либо быть расположенными симметрично, относительно хотя бы одной из осей диаграммы Вейча;

в). В контур необходимо стремиться объединить возможно большее количество единиц, при этом упрощается аналитическое выражение;

г). Контурами должны охватываться все без исключения единицы, и ни в один контур не должен быть включен нуль;

д). Одна и та же единица может быть включена в несколько контуров;

е). Число контуров должно быть минимально.

При невыполнении хотя бы одного из пунктов а) – е) задача минимизации считается нерешенной.

Н

рис.7

а рис. 7 показаны возможные варианты объединения единиц и получающиеся функции для некоторых случаев:

В случае 5 переменных диаграмма Вейча допускает осевую симметрию относительно двух дополнительных вертикальных осей (рис.8).

Пример:

рис.8