3. Линейная функция, ее свойства и график

Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = х + в, где и в – некоторые действительные числа, х и у – переменные.

Свойства функции:

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Линейная функция:

если в = 0 (функция имеет вид у = кх) нечетная f (-x) =- f(x);

если к = 0 (функция имеет вид у = в) – четная;

если в ≠ 0, к ≠ 0 – ни четная, ни нечетная.

4. Линейная функция:

если к = 0 – постоянная (у = в);

если к > 0 – возрастающая;

если к < 0 – убывающая.

Доказательство:

Возьмем два значения аргумента х₁ и х₂ из области определения функции такие, что х₁ < х₂, тогда х₂ - х₁ > 0 и запишем соответствующие им значения функции:

у₁ = кх₁ + в и у₂ = кх₂ + в.

Сравним у₁ и у₂ : у₂ – у₁ = (кх₂ + в) – (кх₁ + в) = к(х₂ - х₁)

Поскольку по условию х₂ - х₁> 0, то знак разности у₂ – у₁ зависит от знака к.

Если к > 0, то у₂ – у₁ > 0, значит у₂ > у₁, поэтому согласно определения возрастающей функции, линейная функция возрастающая на всем множестве действительных чисел R.

Если К < 0, то у₂ – у₁ < 0, значит у₂ < у₁, поэтому согласно определения убывающей функции, линейная функция убывающая на всем множестве действительных чисел R.

5. Графиком линейной функции является прямая:

	К > 0	К = 0	К < 0
в > 0
в = 0
в < 0

4. Прямая пропорциональность, ее свойства и график

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция ,которая может быть задана при помощи формулы вида у = х, где х – независимая переменная, а К – действительное число.

Прямая пропорциональность - частный случай линейной функции при в = 0 (у = Кх + в у = Кх). Говорят, что переменная у прямо пропорциональна переменной х с коэффициентом пропорциональности К. Для того, чтобы найти коэффициент пропорциональности К, достаточно знать пару соответствующих значений переменных х и у (за исключением пары (0;0)), К =

Свойства функции у = х:

1. Область определения: Д (у) = R.

2. Множество значений:

3. Функция нечетная: f (-x) =- f(x);

Доказательство:

f (-x) = К(-х) = -Кх =- f(x)

4. Прямая пропорциональность:

а) при К = 0 – постоянная;

б) при К > 0 – возрастающая;

в) при К < 0 – убывающая.

Доказательство:

Возьмем два значения аргумента х₁ и х₂ из области определения, такие, что х₁ < х₂, тогда х₁ – х₂ < 0. Запишем соответствующие им значения функции: у₁ = Кх₁, у₂ = Кх₂

Сравним у₁ и у₂: у₁ – у₂= х₁ – Кх₂ = К(х₁ – х₂).

Поскольку по условию х₁ – х₂ < 0, то знак разности у₁ – у₂ зависит от знака К.

Если К > 0, то у₁ – у₂ < 0, значит у₁ < у₂, поэтому согласно с определением возрастающей функции, функция у = х возрастающая на всем множестве действительных чисел R.

Если К < 0, то у₁ – у₂ >0 у₁ > у₂, поэтому функция убывающая на всем множестве действительных чисел R.

5. Основное свойство прямой пропорциональности:

Если задана прямая пропорциональность у = Кх и две пары соответствующих значений переменных (х₁; у₁) и (х₂; у₂), то имеет место равенство:

или у₁х₂ = х₁у₂.

Доказательство:

Если у₁ = х₁, у₂ = х₂, то или х₁у₂ = х₂у₁.

Из равенства или у₁х₂ = х₁у₂ следует основное свойство прямой пропорциональности: две величины находятся в прямо пропорциональной зависимости, если с увеличением (уменьшением) в несколько раз одной из них вторая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

6. График функции у = Кх – прямая линия, проходящая через начало координат.

К > 0 К = 0

у у

х х

К < 0

у

Примеры прямо пропорциональных зависимостей:

– пройденный путь и скорость при неизменном времени;

– пройденный путь и время при неизменной скорости;

– количество товара и его стоимости при неизменной цене и т.д.

Основное свойство прямой пропорциональности используется в школе при решении многих задач.

Задача. 5 кг яблок стоят 6000 руб. Сколько стоят 8 кг таких же яблок?

Решение.

1 способ: (по действиям)

1) 6000 : 5 = 1200 (руб) – цена яблок

2) 1200 ∙ 8 = 9600 (руб) – стоят 8 кг яблок

2 способ: (при помощи пропорции)

5 кг – 6000 руб; (руб)

8 кг – х руб.

Ответ: 9600 руб.