Лабораторная работа №4

Тема: Расчет показателей надежности при нормальном законе распределения отказов строительных машин

1.Цель работы:

-изучение методики определения параметров нормального закона распределения;

-изучение методики определения показателей надежности при заданном нормальном законе распределения.

2. Основные сведения о нормальном законе распределения.

2.1. Нормальное распределение используется в теории надежности не только как хорошее аналитическое приближение погрешностей изготовления, измерения, но и самостоятельно, как модель отказов изделий, подверженных износу, модели старения и т.д. Процесс старения, износа, связан с t параметром, который монотонно изменяется и со временем достигает предельного износа, что приводит к отказу. Начальное значение этого параметра в силу производственного разброса – случайная величина, нормально распределенная с небольшой дисперсией. Эти условия позволяют представить момент достижения критического уровня как линейную форму от нормально распределенного начального значения параметра. Поэтому момент наступления отказа также распределен нормально.

Функция плотности нормального распределения

f(t;a,σ)= /_*е ^{1 -(t-a)²/2σ²}

Два параметра а и  определяют расположение распределения на числовой оси и его масштаба.

Кривые плотности симметричны с максимумом в точке t = a.

Функция распределения

^_∫е^{-(ν-a)²/2σ²}dν=Ф(^t-a/_σ)

Ф(t)-нормированная функция нормального распределения. Её значения приводятся в таблицах.

Математические ожидания Мτ=а

Дисперсия распределения Dτ=σ²

Применение нормальной модели для описания распределения времени безотказной работы ограничивается условием F(0;a,σ)<ε, вероятность отрицательных значений времени безотказной работы должна быть исчезающе малой.

С этой целью применяется усеченное нормальное распределение, сосредоточенное на полуоси t0. Усечение нормального распределения осуществляется с помощью нормализующего множителя

1-F(0;a,σ)=Ф(^а/_σ)

Функция плотности в этом случае примет вид

f(t;a,σ)=¹/√_2πσ*¹/_Ф(а/σ)*е^{-(t-a)²/2σ²}

Функция распределения усеченной нормальной модели

F(t;a,σ)=1-^Ф(a-t/σ) /_Ф(а/σ)

Математическое ожидание усеченной нормальной модели распределения времени безотказной работы

Mτ=a+σ e^-a²/2σ² /_{Ф(а/σ)√2π}

2.2 Показатели надежности:

Вероятность безотказной работы

R(t)=^Ф(a-t/σ) /_Ф(а/σ) t>0 σ>0 0<а<

Вероятность безотказной работы в интервале (t,t+θ)

R(t,t+θ)=^{Ф(a-t-θ/σ)} /_Ф(a-t/σ)

Интенсивность отказов модели

λ(t)=^φ(t-a/σ) /_σФ(a-t/σ)

Здесь γ(x)- плотность нормированного нормального распределения;

Ф(x)-функция нормального распределения.

Значения этих величин приводится в таблицах.

Функция λ(t) монотонно возрастает.

Средняя наработка до отказа изделий с нормальной моделью

T=a+σ ^φ(а/σ) /_Ф(а/σ)

3. Порядок проведения работы.

3.1. Исследуются N изделий, после отказа изделия не рекомендуются и не пополняются, Исследования заканчиваются после отказа всех изделий.

Выбирается план испытаний [NUN].

3.2. Результаты исследований представляются в виде выборки значений случайных чисел имитирующих наработки до отказа каждого из N изделий.

3.3. Подготавливается информация и выполняется статистическая обработка.

3.3.1. Строится вариационный ряд.

3.3.2. Определяется количество интервалов.

3.3.3. Определятся величина шага интервала.

3.3.4. Определяются частоты.

3.3.5. Строится гистограмма.

3.3.6. Оценивается характер закона распределения (по гистограмме выдвигается гипотеза без проверки по критериям).

3.3.7. Определяется среднее значение исследуемой величин

T= ^(t₁^+t₂^+.......+t_n⁾ /_N= ^∑t_i /_N

Определяется дисперсия

D=^Σ(t_i^-T)² /_N

Определяется среднеквадратическое отклонение

S=√D

3.4. Сообщается, что отказы на основании предварительно проведенных исследований подчиняются нормальному (усеченно нормальному) закону распределения.

3.5. Определяется параметр a=T=T_˚; σ²=D; σ=√D

3.6. Путем подготовки параметров а и записываются:

-закон распределения отказов F(t;a,σ)

-плотность распределения f(t;a,σ)

-вероятность безотказной работы R(t;a,σ)

3.7. Для заданного интервала (0,t) определяется вероятность безотказной работы R.

3.8. Определяется интенсивность отказов λ(t).

4. Отчет по лабораторной работе должен содержать:

-исходную выборку;

-вариационный ряд, частоты, гистограмму;

-результаты вычислений средней наработки до отказа Т;

-результат вычисления D=σ²

-закон распределения F(t;a,σ)

-плотность распределения f(t;a,σ)

-интенсивность отказов λ(t)

5. Контрольные вопросы:

5.1. В каких случаях целесообразно изменение модели, описываемой нормальным законом?

5.2. Назвать отличительные особенности нормального закона распределения.

5.3. Каков порядок обработки результатов испытаний?

5.4. Как определить параметры а и σ?

5.5. Что такое усеченное нормальное распределение?

5.6. Как определяется значение функций Ф и φ?

5.7. Как определяется средняя наработка до отказа?

5.8. Как определяется вероятность безотказной работы?

Литература.

1. Волков Д.П., Николаев С.Н. Надежность строительных машин и оборудования: Учеб. Пос. для ВУЗов.-М.: Высш. Школа, 1979.-400с., пл.

2. Певзнер Л.Д. Надежность горного электрооборудования и технических средств шахтной автоматики. - М.: “Недра”, 1983 с., пл.

3. ГОСТ 27.503-81.-М.: изд. Стандартов,1982,65 с.