Уравнение поперечных колебаний пластин.

Если в качестве динамической модели элементов конструкции РЭА принята свободно изгибающаяся однородная пластина, то для математической модели справедливо уравнение гиперболического типа:

где

Т – натяжение пластины,

F(x,y,t) – внешняя сила,

S(x,y,t) – амплитуда перемещения точек пластины.

Если динамическая модель представляет собой упругую пластину конечной толщины d, то в качестве расчетного уравнения берется дифференциальное уравнение 4-го порядка изгибных колебаний в перемещениях

(****)

где - цилиндрическая жесткость пластины;

m - коэффициент Пуассона;

g - удельный вес пластины;

w₀ – собственная частота пластины, подлежащая определению.

Граничные условия для прямоугольной пластины на краях, параллельных оси Оу имеют вид:

1. если края свободно оперты, то

2. если края жестко закреплены, то

3. если края свободны, то

Условия для краев, параллельных оси Ох, получаются из приведенных выше заменой х на у и наоборот.

Если на пластину действует внешняя гармоническая нагрузка интенсивности, то уравнение форм вынужденных колебаний пластины запишется в виде:

(*****)

где

Решение уравнений (****) и (*****) проводится методом разделения переменных.

В случае силового возбуждения линейной системы с одной степенью свободы гармонической силой уравнение движения можно представить в виде:

(а)

Физически результат решения этого уравнения представляет собой наложение свободных и вынужденных колебаний системы, и результирующее колебание не будет гармоническим.

Вынужденные колебания могут быть представлены в виде (в)

где s_B – амплитуда вибрации,

a - сдвиг фаз между силой и перемещением

Подставим решение (в) в уравнение (а), получим:

откуда Величина является передаточной функцией и называется частотной характеристикой системы. Она показывает, как изменится амплитуда вынужденных колебаний S_B с изменением частоты возбуждения w. Знаменатель выражения называется динамической жесткостью системы. Она характеризует сопротивление системы воздействию гармонической силы.

Амплитуда вынужденных колебаний

(с)

где - статическое смещение системы под воздействием силы Р₀;

- коэффициент расстройки,

- коэффициент вязкого демпфирования.

Из выражения (с) находим коэффициент динамического усиления

Х показывает, как изменяется амплитуда S_B по отношению к ее статическому смещению под действием силы Р₀ в зависимости от коэффициента расстройки ν ® расчет w₀.

В случае кинематического возбуждения амплитуду колебаний элемента можно определить через амплитуду смещения основания. Если основание перемещается по гармоническому закону (d)

где S₀ – амплитуда вибросмещения основания,

то уравнение движения системы с вязким трением примет вид (е)

где - упругая деформация связей.

Подставим в уравнение (е) частное решение в виде (в) и выражение для смещения (d), после преобразования получим , откуда найдем передаточную функцию

Амплитуда колебаний системы

В еличина получила название коэффициента передачи.

Коэффициенты передачи существенно зависят от частотного отношения . При , h всегда меньше 1, и амплитуда колебаний системы будет меньше амплитуды колебаний основания. На этом явлении основан способ виброзащиты, получивший название виброизоляции (пассивной).

В соответствии с формулой при заданных массе аппарата m и частоте возбуждающих колебаний w необходимо выбрать такую жесткость упругого элемента k (или упругих элементов – амортизаторов) чтобы обеспечить выполнение условия (целесообразно применять амортизаторы).