Математические методы расчетов вибраций.
При проектировании конструкций блоков, панелей, рам и стоек РЭА возникает необходимость выполнения динамических расчетов для определения прочности конструкции, вычисления резонансных частот и нагрузок, возникающих в процессе эксплуатации. Подобные задачи приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных теории колебаний и прикладной теории упругости.
Д
ля
составления расчетных уравнений
необходимо, в первую очередь, выбрать
динамическую модель РЭА (составных
частей), т.е. представить объект в виде
некоторой совокупности инерционных,
упругих и демпфирующих элементов.
Выбирая физическую модель необходимо
учитывать ширину спектра динамического
воздействия (чем выше частоты, тем больше
число степеней свободы должна иметь
модель РЭА). Если аппаратура под действием
внешней силы совершает колебания вдоль
одной координаты, то расчетная модель
такой системы может быть представлена
в виде одной сосредоточенной массы m,
соединенной с вибрирующим основанием
упругой связью (пружина) с коэффициентом
жесткости k и демпфирующей
связью с коэффициентом демпфирования
b. Если аппаратура
совершает сложные пространственные
колебания, то расчетная схема может
быть представлена моделью механической
системы с n степенями
свободы.
С
ледующим
этапом является разработка математического
описания динамической модели.
Математическая модель должна содержать замкнутую систему основных уравнений, а также способы задания начальных и граничных условий.
Конструкция РЭА является сложной упругой механической системой. Для полного определения деформаций, возникающих в такой системе при колебаниях необходимо знать перемещение всех ее точек. Таким образом, упругие системы являются системами с бесконечным числом степеней свободы или системами с распределенными параметрами.
Р
асчет
таких систем достаточно сложен и
проводится методами математической
физики или вариационными методами. На
практике расчет колебаний упругих
систем (систем с бесконечным числом
степеней свободы) проводят путем введения
упрощений, т.е. замены сложной системы
другой, более простой, с другим
распределением масс и жесткостей, а
именно: эквивалентной (приведенной)
системой с одной или с конечным числом
степеней свободы. Такие системы являются
системами с сосредоточенными параметрами
и могут быть исследованы на основании
уравнений Лагранжа.
В конструкциях РЭА (платы, стойки, корпуса и т.п.) в основном применяются стержневые каркасы и отдельные стержни и пластины в качестве деталей, несущих механические нагрузки. Таким образом, в качестве физической модели удобно рассматривать колебания стержней и пластин.
Уравнение поперечных колебаний стержней.
В предположении, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях проходят в одной плоскости и являются малыми отклонениями (в пределах упругих деформаций), уравнение поперечных колебаний имеет вид:
(***)
где J – момент инерции поперечного сечения стержня относительно центральной оси;
Е – модуль упругости 1-го рода (Юнга);
r - плотность материала стержня;
F – площадь поперечного сечения.
В простейших случаях конец стержня свободен, жестко закреплен или шарнирно оперт и граничные условия выражаются соотношениями:
конец стержня свободен; на таком конце равны нулю изгибающий момент и поперечная сила, следовательно
конец стержня жестко закреплен; на таком конце равны нулю прогиб и угол поворота, т.е.
конец стержня шарнирно оперт; в этом случае равны нулю прогиб и изгибающий момент, т.е.
Так как процесс колебаний стержня зависит от начальной формы и распределения скоростей, то начальные условия следует задать в виде:
Таким образом, задача сводится к решению уравнения (***) с начальными и одним из граничных условиями и решается методом разделения переменных.