2Примеры выполнения типового расчета
Задача 2.1. Найти все значения корня:
1.
2.
Решение: 1.
,
,
2.
,
,
На комплексной плоскости значения корней могут быть представлены следующим образом (см. рис 2.1 и 2.2)
Задача 2.2. Представить в алгебраической форме:
1.
;
2.
Решение:
1.
Т. о. - действительное число.
2.
Задача 2.3. Представить в алгебраической форме:
1.
2.
Решение:
1.
2.
Задача 2.4.Вычертить область, заданную неравенствами:
1.
;
2.
Решение:
- кольцо, ограниченное
окружностями
,
окружности не принадлежат области:
правая полуплоскость
без границы;
- полоса, ограниченная
прямыми
и
прямые принадлежат области. Таким
образом, на комплексной плоскости
область имеет вид(см.
рис 2.3):
- круг единичного
радиуса с центром в точке
,
граница круга области не принадлежит.
- полуплоскость,
расположенная выше прямой
вместе с границей;
- полуплоскость,
расположенная ниже прямой
вместе с границей.
Таким образом, область на комплексной плоскости имеет вид (см. рис 2.4):
Задача 2.5. Определить вид кривой:
1.
2.
Решение:
1.
- прямая.
2.
Приведем уравнение к каноническому виду. Повернем координатные оси на угол .
Угол
выберем так, чтобы
Тогда
Пусть
.
Тогда
- гипербола.
Задача 2.6. Восстановить
аналитическую в окрестности точки
функцию
по известной действительной части
или мнимой части
и значению
.
Решение. Проверим является ли функция гармонической.
Т.е. – гармоническая функция.
Потребуем выполнения условий Коши-Римана:
Из первого условия:
Из второго условия:
Следовательно,
.Тогда
или
Из условия
имеем
.
Таким образом,
2. Проверим гармоничность функции :
- гармоническая функция.
Потребуем выполнения условий Коши-Римана:
Из первого условия:
Из второго условия:
Следовательно,
.
Тогда
или
.
Из условия
имеем
.
Таким образом,
.
Задача 2.7. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.
1.
2.
,
АВ – отрезок прямой,
Решение 1. Кривая
,
вдоль которой ведется интегрирование,
представлена на рис 2.5.
Подынтегральная функция аналитическая, поэтому можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.
Отрезок АВ, вдоль которого ведется интегрирование, представлен на рис. 2.6.
Уравнение
прямой АВ
,
тогда вдоль АВ
,
.
Задача 2.8. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням :
1.
2.
Решение.
1. Разложим функцию на простые дроби.
Приравнивая
коэффициенты при
:
Тогда
Функция имеет следующие области аналитичности:
В области
тогда
В области
тогда
В области
Тогда
2. Разложим функцию на простые дроби.
Тогда
Функция имеет следующие области аналитичности:
В области
Тогда
В области .
Тогда
В области .
Тогда
Задача 2.9. Найти
все лорановские разложения данной
функции по степеням
.
1.
2.
Решение. Так как
функция
аналитическая всюду, кроме точек
,
и
,
,
то она может быть разложена в ряд Лорана
по степеням
в следующих областях:
Разложим на простые дроби
В области
Тогда
В
области
.
Тогда
В области .
Тогда
2. Так как
аналитическая всюду, кроме точек
,
и
,
,
то она может быть разложена в ряд Лорана
по степеням
в следующих областях:
Разложим на простые дроби:
Если
,
то
Если
,
то
Если
,
то
Если
,
то
Тогда в области
:
.
В области
:
.
В области
:
.
Задача 2.10. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки .
1.
2.
Решение.1. Функция
имеет одну особую точку
,
т.е. она является аналитической в области
.
В этой области запишем ее разложение в
ряд Лорана, используя разложение функции
:
Тогда
2. Функция имеет
одну особую точку
,
т.е. она является аналитической в области
.
В этой области запишем ее разложение в
ряд Лорана, используя разложение функции
:
Тогда
Задача 2.11. Определить тип особой точки данной функции
1.
2.
Решение
,т.е точка
не является нулем числителя
т.е
точка
является нулем 4-го порядка
2.
т.е. есть нуль 5-го порядка числителя
т.е. есть нуль 2-го порядка знаменателя. Это означает, что имеет в точке нуль 3-го порядка, т.е. есть устранимая особая точка функции.
Задача 2.12. Для заданной функции найти изолированные особые точки и определить их тип:
1.
2.
Решение 1.
т.е. есть нуль 3-го порядка числителя.
Одновременно есть нуль 2-го порядка для знаменателя. Это означает, что есть нуль 1-го порядка , т. е. есть устранимая особая точка функции .
,
т.е.
есть
полюсы 1-го порядка
.
2.
есть существенно особая точка функции
,
т. к. не существует предела
.
т. е.
есть устранимая особая точка функции
.
т. е.
есть устранимая особая точка функции
.
есть полюсы 1-го порядка , т. к. они являются нулями 1-го порядка знаменателя и не являются нулями числителя.
Задача 2.13. Вычислить интегралы:
1.
.
2.
Решение.
1. Внутри контура
имеет особые точки:
- устранимая особая
точка, т.к.
Вычет в точке равен 0.
- полюс 1-го порядка.
Вычет в точке равен
Тогда по основной теореме о вычетах
2. Внутри контура
имеет особую точку
- полюс 1-го порядка
Тогда
Задача 2.14. Вычислить интегралы:
1.
.
2.
Решение. 1. Внутри
контура
имеет полюс 5-го порядка в точке
.
Тогда
.
2. Внутри контура
имеет существенно особую точку
.
т.е. ряд Лорана имеет бесконечное число членов в главной части разложения.
Из разложения
следует
Тогда
Задача 2.15. Вычислить интегралы:
1.
.
2.
Решение. 1. Внутри
контура
имеет полюс 1-го порядка в точке
.
Тогда
2. Внутри контура
имеет полюс 1-го порядка в точке
,
т. к.
Тогда
.
Задача 2.16. Вычислить интегралы:
1.
.
2.
Решение. 1. Внутри
контура
функция
имеет существенно особую точку
,т.
к.
не существует, функция
имеет полюс 2-го порядка в точке
.
Найдем вычеты функций в этих точках:
Тогда
.
2. Внутри контура
функция
имеет полюс 1-го порядка в точке
,
т.к.
при
.
имеет полюс 2-го
порядка в точке
.
Найдем вычеты функций в этих точках:
Тогда
Задача 2.17. Вычислить интегралы:
1.
2.
Решение. 1. Рассмотрим интеграл вида
Пусть
,
тогда
При изменении
от
до
переменная
пробегает окружность
в положительном направлении, и исходный
интеграл сведется к интегралу по
замкнутому контуру
,
т.е.
Корни уравнения
Внутри контура
лежит лишь одна точка
являющаяся полюсом 1-го порядка
Тогда
Применяя полученный результат к конкретным интегралам, будем иметь:
1.
2.
Задача 2.18. Вычислить интегралы:
1.
2.
Решение. Рассмотрим интеграл вида
Пусть
,
тогда
При изменении от до переменная пробегает окружность в положительном направлении, и исходный интеграл сведется к интегралу по замкнутому контуру , т.е.
Корни уравнения
,
Внутри контура
лежит лишь одна точка
,
являющаяся полюсом 2-го порядка
Тогда
Применяя полученный результат к нашей задаче, будем иметь
1.
2.
Задача 2.19. Вычислить интегралы:
1.
2.
Решение. 1.
Функция
совпадает с функцией
на оси ОХ и имеет в верхней полуплоскости
полюс 2-го порядка в точке
.
Тогда
.
2. Функция
совпадает с функцией
на оси ОХ и имеет в верхней полуплоскости
две особые точки: полюс 2-го порядка в
точке
и полюс 1-го порядка в точке
.
Тогда
.
Задача 2.20. Вычислить интегралы:
1.
2.
Решение. 1. Рассмотрим
функцию
,
которая имеет в верхней полуплоскости
в точках
и
полюсы 1-го порядка.
Тогда
.
2. Рассмотрим
функцию
,
которая имеет в верхней полуплоскости
полюс 2-го порядка в точке
.
Тогда
.
Задача 2.21. Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура при отображении с помощью функции .
1.
,
полуплоскость
2.
,
полоса
Решение. 1. Дробно-линейное отображение строим по 3-м парам точек и направлению обхода.
Например,
- точка на единичной окружности;
- точка на единичной
окружности
- точка на единичной
окружности.
Таким образом, полуплоскость преобразуется во внешнюю область единичного круга (см. рис 2.7)
2.
Рассматриваемое отображение можно рассматривать как последовательные отображения:
– поворот на угол
и расширение полосы вдвое;
– полученная
полоса отображается на полуплоскость
;
– дробно-линейная
функция отображает полуплоскость на
внутренность единичного круга. (см.
рис 2.8)
Задача 2.22. Найти круг сходимости степенного ряда и определить сходимость ряда на границе круга.
1.
;
2.
.
Решение
1. Запишем
–й
и
–й
члены ряда:
,
По
признаку Даламбера
.
В нашем случае:
Отсюда,
ряд сходится в круге
.
При этом, ряд сходится абсолютно, если
и равномерно, если
.
На
границе круга
имеем числовой ряд с действительными
членами
,
который по признаку Лейбница сходится
условно.
2. Запишем –й и –й члены ряда:
,
По признаку Даламбера
.
Отсюда,
ряд сходится в круге
. При этом, ряд сходится абсолютно, если
и равномерно, если
.
На
границе круга
имеем числовой ряд с действительными
членами
.
Ряд
сравним с гармоническим рядом
.
Ряд расходится, следовательно по признаку сравнения ряд тоже расходится. Следовательно, исходных ряд на границе круга расходится.