МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. Вернадского

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

Сборник заданий по дисциплине

“ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА”

для студентов факультета математики и информатики

Симферополь

2000 г.

Сборник заданий по дисциплине “Дискретная математика” содержит методические указания и задания по основным темам курса для студентов специальностей «информатика» и «прикладная математика».

Составители:

- Донской В.И., доктор физ.-мат. наук, профессор,

- Руденко Л.И., кандидат физ.-мат. наук, доцент,

- Козлова М.Г., ассистент.

1. Комбинаторика и свойства множества Вn вершин единичного n-мерного куба

Основные понятия.

Вектор =(₁,₂,...,_n), координаты которого принимают значения из множества {0,1}, называется двоичным (булевым) вектором длины n.

Множество всех булевых векторов длины n называется единичным n-мерным кубом и обозначается Bⁿ. Весом или нормой вектора называется число || || = .

Множество всех вершин куба, вес которых равен k, называется k-м слоем куба Bⁿ. Число называется номером вектора .

Число — называется расстоянием Хемминга.

Наборы (векторы) и называются соседними, если ( , )=1, и противоположными, если ( , ) = n.

Говорят, что набор предшествует набору (обозначение: ), если для всех i=1,...,n a_i b_i . Если при этом  , то говорят, что строго предшествует (обозначение ). Если выполняется условие ( ) или ( ), то и называют сравнимыми наборами, иначе — несравнимыми. Последовательность вершин куба Bⁿ называется цепью, соединяющей и , если для i=1,..,k, все вершины в последовательности различны. Число k называется длиной цепи. Цепь называется возрастающей, если для i=1,...k. Если , то цепь называют циклом.

Множество всех наборов (a₁,...,a_n) из , у которых a_ij=_j

(j=1,...,k), называется гранью куба Bⁿ. Множество номеров перeменных I={i₁,...,i_k} называется направлением грани, число k — рангом грани, (n-k) — размерностью грани. Интервалом куба Bⁿ называется множество вида . Число называется размерностью интервала.

ЗАДАЧИ

1.1. Доказать, что для любых из Bⁿ справедливо соотношение

1.2. Найти число неупорядоченных пар наборов из Bⁿ, таких, что .

Найти число неупорядоченных пар соседних вершин в Bⁿ.

1.3. Найти число наборов веса k.

1.4. Чему равно число наборов из , удовлетворяющих условию ?

1.5. Доказать, что мощность любого подмножества попарно несравнимых наборов множества Вⁿ

не превосходит . Здесь

1.6. Показать, что всякое подмножество, содержащее не менее n+2 векторов, содержит пару несравнимых векторов.

1.7. Пусть . Доказать, что число наборов равно 2^k .

1.8. Пусть и — множество всех векторов из Вⁿ, сравнимых с . Найти мощность множества C :

1.9. Доказать, что в Bⁿ существует n! различных возрастающих цепей длины n.

1.10. Доказать, что число попарно различных возрастающих цепей длины n, содержащих фиксированную вершину

из , равно k!(n-k)!

1.11. Доказать, что все наборы Bⁿ можно расположить в последовательность, являющуюся циклом.

1.12. Доказать, что число всех граней ранга k куба Bⁿ равно .

1.13. Доказать, что число всех граней куба Bⁿ равно .

1.14. Доказать, что число граней размерности k, содержащих заданную вершину , равно .

1.15. Доказать, что число граней размерности k, содержащих заданную грань размерности l, равно .

1.16. Доказать, что грань размерности k является интервалом размерности k.