3.1. Уравнение неразрывности

Простейшее из уравнений баланса — уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы. Рассмотрим область простран­ства, например, в декартовых координатах х, у, z (или х₁, х₂, х₃), а короче x_i, где i = 1,2,3), через которую со скоростью v (x_i, t) протекает однородная жидкость плотностью  (x_i, t). Принцип со­хранения массы в фиксированном объеме пространства V= xyz (рис. ) может быть записан в виде:

Если плотность внутри объема , то скорость накопления массы равна . Это выражение равно алгебраической сумме пото­ков массы (v_i), входящих и выходящих через шесть граней куба на рис. .

Элемент объема

Рис. .

В результате

Каждая скобка в правой части равнения представляет собой чистый приток массы через три глав­ные плоскости куба.

Разделив обе части уравнения на V, при условии, что размеры куба будут стремиться к нулю, в пределе получим:

Или после преобразований

В этих уравнениях символом  (набла) обозначен дифференциальный оператор, который в прямоугольной системе координат имеет вид:

где _I – единичные векторы.

где t — время; v= div v — расхождение вектора скорости V.

Уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности) в прямоугольных координатах:

Уравнение сохранения массы в цилиндрических координатах:

3.2. Уравнение движения

В соответствии со вторым законом Ньютона скорость измене­ния количества движения элемента жидкости равна сумме всех действующих на него сил:

где g — главный вектор массовых сил, действующих на жидкость в рассматри­ваемой точке.

Вследствие высокой вязкости полимеров силы трения при их течении во много раз превышают инерционные и массовые силы.

Поэтому членами, учитывающи­ми влияние последних, обычно пренебрегают. В результате это­го упрощения уравнение записывается в виде

В такой форме уравнение движения вязкой жидкости изве­стно как уравнение Стокса.

Уравнение движения в прямоугольных координатах:

Уравнение движения в цилиндрических координатах

3.3. Уравнение энергии

Из закона сохране­ния энергии, примененного к эле­менту жидкости, следует уравне­ние теплового баланса:

где С_v — удельная теплоемкость жидко­сти при постоянном объеме, выраженная в единицах механической работы; q — вектор теплового потока, выраженный в единицах механической работы, связан­ный с градиентом температуры законом теплопроводности Фурье:

(k — коэффициент теплопроводности жидкости, выраженный в единицах ме­ханической работы).

Ниже приведены компоненты вектора теплового потока q в прямоугольной и цилиндрической системах координат:

Прямоугольные координаты Цилиндрические координаты

Уравнение теплового баланса в прямоугольных координатах:

Уравнение теплового баланса в цилиндрических координатах.

Расположение индексов в компонентах тензора напряжений подчиняется следующему правилу: первый индекс указывает на­правление нормали к площадке, на которой действует данное на­пряжение; второй индекс характеризует направление действия на­пряжения.

В силу симметрии тензора напряжений справедливы следую­щие равенства (закон парности касательных напряжений):

Приведенные выше уравнения движения не описывают связи между напряжением сдвига и соответствующими значениями ско­ростей деформации. Для того чтобы полностью охарактеризовать поведение деформируемого полимера, необходимо дополнить эти уравнения реологическим уравнением состояния, связывающим компоненты тензора скоростей деформации с компонентами тен­зора напряжений.