
- •5 Математическое моделирование процессов переработки пластмасс
- •Оглавление
- •Список использованных обозначений
- •Введение
- •1. Основы деформации и течения расплавов полимеров
- •1.1. Понятие деформации
- •1.1.1. Деформации объемного сжатия или расширения
- •1.1.2. Упругая и пластическая деформация.
- •1.2. Понятие о скорости сдвига
- •1.2. Деформация при течении полимеров
- •1.3. Ньютоновские жидкости.
- •1.4. Вязкопластичные жидкости (тело Шведова — Бингама).
- •1.5. Дилатантные жидкости.
- •1.6. Псевдопластичные (псевдовязкие) жидкости.
- •2. Механические модели
- •2.1. Простейшие механические модели
- •2.3. Обобщенная модель Максвелла.
- •2.4. Модель Кельвина — Фойгта.
- •2.5. Обобщенная модель Кельвина — Фойгта.
- •2.6.Модель Алфрея-Гарни (Бургерса-Френкеля)
- •3. Явления переноса
- •3.1. Уравнение неразрывности
- •3.2. Уравнение движения
- •3.3. Уравнение энергии
- •3.4. Тензор напряжений
- •3.5. Тензор скоростей деформации
- •4. Общие граничащие условия и упрощающие предположения
- •5. Изотермическое установившееся течение аномально вязких жидкостей в цилиндрическом канале
- •6. Изотермическое установившееся течение аномально вязких жидкостей между вращающимися цилиндрами
- •7. Изотермическое установившееся течение аномально вязких жидкостей между параллельными пластинами
- •8. Капиллярная визкозиметрия. Входовые эффекты.
- •11. Специфические эффекты при течении полимеров
- •11.1. Развитие нормальных напряжений.
- •11.2. Эффект Барруса.
- •11.3. Течении расплавов полимеров в кольцевых каналах
- •11.4. Эффект Вайссенберга.
- •Список использованных источников
2.5. Обобщенная модель Кельвина — Фойгта.
Сопоставление механических характеристик элемента Кельвина — Фойгта с механическими характеристиками реальных полимеров указывает на существование качественного сходства. Однако попытки количественного описания поведения реальных полимеров при помощи уравнения движения модели Кельвина — Фойгта наталкиваются на такие же затруднения, что и при использовании однокомпонентной модели Максвелла.
В связи с этим была предложена обобщенная модель Кельвина— Фойгта, характеризуемая спектром податливостей.
Обобщенная модель Кельвина — Фойгта.
Рис. 2.9.
2.6.Модель Алфрея-Гарни (Бургерса-Френкеля)
Модель Алфрея-Гарни
1,4 — пружины; 2, 3 —демпферы.
Рис. 2.10.
Недостатком модели Фойгта-Кельвина является то, что она не описывает компоненты упругой мгновенной деформации и вязкого течения. Этого можно избежать, если воспользоваться обобщенной моделью Алфрея-Гарни (см. рис. 2.10).
При нагружении такой модели деформирование происходит за счет мгновенного растяжения пружины 1 и одновременного вязкого течения в демпфере 2. В результате перемещения поршня демпфера 3 начинает развиваться высокоэластическая деформация, которая прекращается через некоторое время при достижении равновесия в пружине 4. Дальнейшее деформирование модели осуществляется за счет перемещения демпфера 2. Схема развития деформации показана на рис.2 11.
Зависимость развития
деформации во времени для модели
Алфрея-Гарни
I — нагружение; II — восстановление деформации после снятия нагрузки.
Рис. 2.11.
Таким образом, если нагрузка не меняется во времени, то деформация будет равна накопленной упругой деформации пружины 1 модели Максвелла, высокоэластической деформации модели Фойгта — Кельвина (пружина 4) и нарастающей во времени деформации вязкого элемента 2 модели Максвелла. Отсюда следует, что изменение упругих деформаций происходит в момент приложения внешней силы или при изменении ее, а затем она остается постоянной.
3. Явления переноса
Прикладная наука о транспортных явлениях рассматривает перенос массы, количества движения и энергии. Она включает в себя те теоретические правила, с помощью которых инженеры решают задачи, связанные с течением жидкостей, теплопереносом и диффузией в многокомпонентных средах. Ниже приводится краткий обзор законов переноса, поскольку процессы переработки полимеров включают в себя транспортные процессы.
Применительно к процессам течения вязкой жидкости эти уравнения формулируются следующим образом. Если выделить внутри занятого движущейся жидкостью объема произвольный элемент и ограничить его воображаемой замкнутой поверхностью, то такой элемент будет представлять собой термодинамически замкнутую систему (т. е. такую систему, которая может обмениваться с окружающей средой только энергией).
Отметим, что такие характеристики жидкости, как плотность , давление Р и температура Т, являются скалярными величинами, скорость жидкости v - это величина векторная, а напряжение сдвига , возникающее в результате действия вязких сил, - симметричный тензор второго ранга.
Несмотря на компактность векторной формы записи, при решении конкретных задач, связанных с исследованиями течения полимеров, приходится выбирать систему координат и определять в ней компоненты векторных и тензорных величин.
Ниже приведены уравнения неразрывности, движения и энергии, представленные в векторной форме, в прямоугольных (х, у, z) и цилиндрических (r, , z) координатах (рис. ).
Системы координат
Рис. .