3.4. Тензор напряжений

Рассмотрим точку сплошной среды Р, расположенную на произ­вольной элементарной поверхности S, определяемой нормалью n (рис. ). Пусть f_i - результирующая сила, с которой материал действует через поверхность на среду, расположенную с положитель­ной стороны поверхности. Средняя сила на единицу площади равна f_i /S. Ее величина имеет ненулевой предел, когда AS стягивается в точку Р (принцип Коши). Этот предел называется вектором напря­жений или вектором сопротивления Т. Но Т зависит от ориентации площадки элемента поверхности, т. е. от направления нормального вектора п. Таким образом, может показаться, что существует беско­нечное количество независимых способов описания напряженного состояния в точке Р. Однако, что оно полностью опре­деляется, если задать компоненты векторов напряжений на трех произвольных взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку Р, т. е. для полного описания напряженного состояния необходимо знать девять компонент — по три для каждого вектора. Каждую компоненту можно описать двумя индексами: i и j.

Первый индекс указывает ориентацию площадки, второй — направление действия силы.

На рис. изображены три компоненты для трех плоскостей декартовых координат. Девять компонент векторов напряжения образуют декартов тензор второго порядка - тензор напряже­ний. Более того, некоторые аргументы, основанные на прин­ципах механики, экспериментальные наблюдения, а также моле­кулярные теории приводят к заключению, что тензор напряжений симметричен (это справедливо, только для систем в которых отсутствует диффузия, химические реакции и др.):

_ij=_ji

Компоненты тензора напряжений

Рис. .

3.5. Тензор скоростей деформации

В общем случае течения, возможно девять ненулевых направлений градиента скорости. Каждая из трех компонент скорости может изменяться в трех координатных направлениях, что и дает девять возможных компонент градиента. Таким образом, можно ввести тензор градиентов скорости v, который в декартовых координатах записывается в виде:

4. Общие граничащие условия и упрощающие предположения

Смазочная аппроксимация. В процессах переработки полимеров часто встречаются ползущие течения в постепенно сходящихся относительно узких каналах. Эти течения обычно аппроксимируются хорошо известным «смазочным» приближением, рассмотренным Осборном Рейнольдсом в его оригинальной работе, в которой он заложил теоретические основы гидродинамики смазки.

Теория рассматривает гидродинамическое поведение тонких пле­нок жидкости толщиной от долей микрометра до десятков микро­метров. В пленках в результате относительного движения ограни­чивающих жидкость поверхностей могут возникать значительные давления (порядка миллионов ньютонов на квадратный метр). При переработке полимеров толщина «пленок», как правило, на не­сколько порядков больше, но применение для расчета этих процес­сов допущений, лежащих в основе теории смазки, достаточно обосновано, поскольку вязкость полимерных расплавов на несколько порядков выше вязкости смазочных масел. Вот почему следует кратко рассмотреть основы гидродинамики смазки.

Допущения, на которых основана теория, заключаются в сле­дующем:

а) течение ламинарно;

б) течение, установившееся во вре­мени ( );

в) течение изотермическое;

г) жидкость несжимаема;

д) жидкость ньютоновская;

е) на стенке нет проскальзывания;

ж) инер­ционные силы в жидкости пренебрежимо малы по сравнению с си­лами вязкого сопротивления;

з) любое перемещение жидкости в направлении, нормальном к поверхностям, пренебрежимо мало по сравнению с перемещением в направлении, параллельном ограничивающим поверхностям;

и) течение в поперечном на­правлении отсутствует.

Приведенная выше система допущений и уравнений (неразрывности и движения) и предста­вляет собой смазочную аппроксимацию. Физически это равнозначно утверждению, что, описав локально полностью развившийся поток между параллельными плоскостями с зазором, равным локальному зазору, можно описать фактическое течение.

Однако, применение смазочной аппроксимации при анализе течения вязкоупругих жидкостей не дает достаточной точности.

Тем не менее, подходы и допущения, применяемые в этой теории сильно упрощают решение некоторых практических задач моделирования.

Кроме упомянутых допущений целесообразно ввести еще несколько пунктов:

к) теплоемкость расплава постоянна (не зависит от температуры и давления);

л) теплопроводность расплава постоянна (не зависит от температуры и давления).

В процессах переработки полимеров, где имеют место как теплопередача, так и течение, типичное изменение температуры составляет около 200 °С, а давление изменяется на 50 МПа. При этих условиях плотность типичного полимера будет изменяться на 10—20 % в зависимости от того, кристаллический он или аморфный, в то время как вариации k и С_р более значительны и составляют 30—40 %.