1.3.6. Преобразование Абеля

Как и преобразование Фурье – Бесселя, преобразование Абеля применимо к оптическим системам, обладающим вращательной симметрией. Это преобразование связывает функцию одной переменной x (или y) с функцией одной переменной r = = и имеет вид

g(x) = 2 .

Обратное преобразование Абеля определяется соотношением

f (r) . (8.6)

Прямое и обратное преобразования Абеля по существу являются частным решением общей задачи восстановления многомерного объекта по известным проекциям.

Изменением переменной преобразование Абеля можно свести к интегралу свертки. В этом виде преобразование Абеля называется модифицированным. Вследствие своей пространственной инвариантности такое преобразование позволяет при анализе использовать методы Фурье и удобно для вычислительных целей. Можно показать, что преобразования Абеля, Фурье – Бесселя и Фурье тесно связаны. Последовательное применение этих преобразований к некоторой функции дает исходную функцию. В оптике этот факт выражается в соотношениях между вводимой ниже функцией рассеяния точки и функцией рассеяния линии (преобразование Абеля), между линейной функцией рассеяния и (одномерной) передаточной функцией (преобразование Фурье) и между вводимой ниже оптической передаточной функцией и функцией рассеяния точки (преобразование Фурье – Бесселя).

1.3.7. Преобразование Гильберта

Прямое преобразование Гильберта определяется соотношением

g(x) ,

а обратное преобразование – соотношением

f (x) .

Заметим, что в отличие от других функций и их преобразований, которые определяются в сопряженных областях, в преобразовании Гильберта функции g и f являются функциями одной переменной x. Между этими функциями существует несимметрично-обратное соотношение (обратное, если исключить знак минус). Говорят, что функции g(x) и f (x) сопряжены друг другу. Функцию g(x) иногда называют функцией квадратуры, соответствующей функции f (x).

Видим, что прямое и обратное преобразования Гильберта представляют собой операции свертки соответственно с функциями –1/px и 1/px. Это приводит к особенно простому соотношению между g(x) и f(x) в пространстве координат преобразования Фурье.

Преобразование Гильберта связывает действительную и мнимую части аналитического сигнала. Для функции одной пространственной координаты аналитический сигнал можно определить в виде

z(x) = = f (x) + i g(x),

где g(x) и определяется преобразованием Гильберта функции f(x). При этом если, например, f(x) = , то g(x) = , если f(x) = , то g(x) = – . Аналитический сигнал по одной из координат для объектов, характеризующихся комплексно-симметричной функцией пропускания, можно получить в оптической системе, показанной на рис. 8.4. На вход системы поступает сигнал половина которого перекрывается оптическим ножом. Действие ножа описывается ступенчатой функцией Хевисайда 1(x), т.е. распределение поля в плоскости пространственных частот (фокальной плоскости линзы) имеет вид R(u) = F(u)×1(u), где

1(u) = F{1(x)} =

– фурье-образ ступенчатой функции Хевисайда (формула (3.)). При этом фурье-образ функции z(x)

Z(u) = F{z(x)} ~ R(u).

Используя дальнейшее преобразование Фурье, получим непосредственно аналитический сигнал z(x).

В оптических системах формирования изображения аналитический сигнал можно получить, перекрыв маской половину выходного зрачка.

Рассмотрим оптическое преобразование Гильберта. Для этого найдем фурье-образ аналитического сигнала:

Z(u) = F(u) + iG(u) = 2F(u)1(u) = 2F(u) при u > 0

и Z(u) = 0 при u < 0,

Отсюда и получаем упомянутое выше простое соотношение между фурье-образами функций g(x) и f (x):

G(u) = - i [2F(u)1(u) – F(u)] = - iF(u)×sign(u) = – iF(u) при u > 0

и G(u) = iF(u) при u < 0,

где функция знака sign(s) принимает значение, равное +1 при s > > 0 и равное –1 при s < 0.

Из полученного соотношения видно, что преобразование Гильберта осуществляется в линейной системе с передаточной функцией H(u) = - i sign(u) = - i = при u > 0 и H(u) = i = при u < 0.

Оптическая схема, по которой осуществляется такое преобразование, показана на рис. 8.5 На схеме первая линза L₁ формирует пространственный спектр сигнала f (x) в плоскости u. Здесь установлен фазовый фильтр (p-фазовая ступенька), которая изменяет фазу отрицательных компонент на p. На выходе системы наблюдается сигнал g(x), соответствующий преобразованию Гильберта функции f (x). Схема преобразования Гильберта двумерных сигналов отличается от вышеприведенной схемы только тем, что на вход первой линзы L₁ подается двумерный сигнал и тем что в плоскости пространственных частот u, v устанавливается фазовая пластинка, которая вносит сдвиг фазы на p в четных или нечетных квадрантах. На выходе такой системы формируется сигнал g(x, y), соответствующий двумерному преобразованию Гильберта.

Преобразование Гильберта используется для уменьшения диапазона пространственных частот системы формирования изображения, сохранив при этом разрешение конечной картины. Такая задача может возникнуть при передаче сигнала по каналу с ограниченной пропускаемой способностью.