1.3.2. Преобразование Фурье – Бесселя

Это преобразование применимо к сигналам, обладающим круговой симметрией. Такие функции записываются в виде

f (x, y) = f ( ) = f (r).

При этом вводимые ниже функция импульсного отклика h(x, y) и передаточная функция H(u, v) оптической системы имеют вид

h(x, y) = h( ) = h(r);

H(u, v) = H( ) = H(r).

Такие оптические системы должны содержать только такие элементы, двумерная функция пропускания которых сводится к функции, зависящей от одной переменной. К таким элементам относятся круговые диафрагмы, круглые линзы, зонные пластинки Френеля и т.д. Можно показать, что образы двумерных распределений, являющихся функциями только полярного радиуса r = , имеют также круговую симметрию (и, следовательно, представляют собой функции только радиальной пространственной частоты r = ). Преобразование Фурье – Бесселя имеет вид

, (8.2)

где J₀ – функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Соответствующее обратное преобразование записывается в виде

.

Видим, что преобразование Фурье – Бесселя является одномерным интегральным преобразованием с одинаковыми ядрами прямого и обратного преобразований (2p ) . Преобразование Фурье – Бесселя, называемое также преобразованием Ганкеля нулевого порядка, получается из двумерного преобразования Фурье при переходе в нем к полярной системе координат, как в координатной, так и в частотной области:

x = r cosq, y = r sinq, u = r cosj, v = r sinj, dxdy = rdrdq.

Подставив эти соотношения в преобразование Фурье, получим

F(r) =

= =

= .

Учитывая определение функции Бесселя первого рода нулевого порядка

,

придем к выражению (8.2).

С преобразованием Ганкеля мы уже встречались при рассмотрении дифракции Фраунгофера на круглом отверстии (интеграл (6.?)), апертурная функция t(x, y) которого обладает круговой симметрией:

t(x, y) = t(r) = t( ) =

где R – радиус отверстия.

1.3.3. Преобразование свертки

Понятие свертки имеет большое значение в оптике. Рассмотрим это понятие сначала на примере функций одной переменной. Сверткой s(x) двух функций f (x) и g(x) называют интеграл вида

s(x) = , (8.3)

где является вспомогательной переменной интегрирования. Кратко свертку записывают в виде или просто s(x) = Как видим, эта операция предполагает умножение ординаты функции f(x) при каждом значении целиком на другую функцию g(x), но смещенную по оси x > 0 на отрезок т.е. умножение на функцию и суммирование результатов, полученных при всех возможных значениях . Функция g(x) должна быть инвариантной относительно сдвига. Это означает, что. форма кривой g(x) не должна изменяться при смещении ее вдоль оси X на любое значение x = , так что кривые g(x) и g(x – ) должны иметь одинаковый вид при любом значении (функции g(x) и g(x – ) должны иметь одинаковую зависимость от x). Поскольку функция g(x) отлична от нуля только на ограниченном промежутке (a, b), то интегрирование в (8.3) по бесконечным пределам следует заменить на интегрирование в пределах (a, b).

Аналогично определяется свертка функций двух переменных:

s (x, y) = . (8.4)

Этот интеграл называют двумерной сверткой. Обратного преобразования свертка не имеет

Смысл одномерного интеграла свертки заключается в следующем. Для нахождения интеграла (8.3) следует построить зеркальное отражение функции относительно оси ординат. Полученную функцию сдвинуть вдоль оси абсцисс вправо на отрезок x, произвести поточечное умножение сдвинутой функции g(x – ) на f( ) и вычислить площадь под кривой f ( )g(x – ). В результате мы получим значение функции s(x) в одной конкретной точке x. Повторяя указанные действия для различных значений сдвига x, можно построить функцию s(x) в соответствии с формулой (8.3).. Интегрирование в интеграле (8.3) распространено на бесконечные пределы, так как только относительно близкие к точке x точки будут оказывать влияние на величину s(x), ибо кривая g(x) довольно узкая.

Рассмотрим физическую сторону операции свертки (рис. 8.2). Ордината f(x) кривой f(x) при некотором значении x₁ (рис.8.2, а) после умножения на функцию g(x – x₁) (рис. 8.2, б) размывается, становясь кривой (сплошная кривая на рис. 8.2, в). Ордината этой кривой при x = x₁ дает основной вклад в значение функции s(x) в точке x₁ .

Рис. 8.2

Имеются и другие вклады, которые порождаются размытием других ординат кривой f(x). Один из таких вкладов, возникающих из-за размытия ординаты кривой при x = и равный ординате кривой f( )g(x – ) в точке x₁, т.е. величина f( )g(x₁ – ), представлена на рис. 8.2, в пунктирным вертикальным отрезком. Результирующее значение функции s(x) в точке x₁ будет определяться суммой указанных вкладов, т.е. интегралом (8.3).

Из проведенного рассмотрения видно, что свертку можно трактовать как суммарное влияние распределения одной функции в соответствии с законом, определяемым другой функцией. Это влияние и приводит к изменению вида функции f(x) и к искажению сигнала (например, к размытию изображения), описываемого этой функцией.

В теории линейных систем, в том числе и в оптике, широкое применение находит так называемая теорема свертки, согласно которой фурье-преобразование свертки двух функций равно произведению их собственных фурье-преобразований, т.е.

F{s(x)} = F{f (x)*g(x)} = F{f (x)}×F{g(x)}

- в одномерном случае и

F{s(x, y)} = F{f (x, y)*g(x, y)} = F{f (x, y)}×F{g(x, y)}

– в двумерном случае. Докажем эту теорему для одномерного случая. Запишем, используя определение преобразования Фурье:

F{s(x)} = .

Заменяя s(x) сверткой функций f(x) и g(x) и изменяя затем порядок интегрирования, получим

F{s(x)} = =

= .

Во внутреннем интеграле, в котором x является постоянной величиной, произведем замену переменной x – x = h. Будем иметь

F{s(x)} = .

Множитель exp(–i2pux) является постоянным в пределах внутреннего интеграла, и поскольку остальная часть подынтегрального выражения внутреннего интеграла не содержит переменную x, она является постоянной для внешнего интегрирования по отношению к x. Таким образом, полное выражение разделяется на произведение двух отдельных интегралов:

F{s(x)} = =

= F{f (x)}×F{g(x)}.

Теорема свертки доказана.

Из теоремы свертки вытекает, что свертке в обычном (физическом) пространстве соответствует умножение в фурье-пространстве (в пространстве частот u, v). Этот очень важный вывод позволяет не только наглядно объяснить процесс формирования оптического изображения, но и служит для получения так называемых передаточных функций системы.

Справедлива и обратная теорема (называемая второй теоремой свертки, или теоремой Парсеваля): фурье-преобразование произведения двух функций равно свертке фурье-образов этих функций, т.е.

F{ f (x, y)×g(x, y)} = F{f (x, y)}*F{g(x, y)}.

Свертка обладает свойством коммутативности:

s (x, y) = =

= ,

или в символическом виде:

f (x, y)*g(x, y) = g(x, y)*f (x, y);

в одномерном случае:

s(x) = = ,

или

f (x)*g(x) = g(x)*f (x).

Операция свертки широко используется при описании кратных процессов дифракции или последовательного наложения нескольких взаимно подобных процессов; связывает сигналы на входе и выходе оптической системы. Линейные оптические системы по своей природе обладают двумя степенями свободы. Поэтому они могут осуществлять преобразование двух типов: преобразование

s(x, h) =

и преобразование (8.4). Наибольшее значение свертка имеет в теории формирования и обработки оптического изображения. Одной из сворачиваемых функций здесь является распределение либо амплитуды, либо интенсивности поля на предмете, а второй (g(x, y)) – либо импульсная функция, либо сглаживающая функция (называемая часто размытием), функция рассеяния (изображения) линии (ФРЛ, в одномерном случае) или функция рассеяния точки (ФРТ). Функция s(x, y) в этом случае представляет собой распределение либо амплитуды, либо интенсивности поля на изображении. Термины «функция рассеяния», «размытие» отражают тот факт, что операция свертки, производимая оптической системой, приводит к размытию, нерезкости изображения.

Возможно образование свертки и более чем двух функций,

которая также имеет физический смысл, в частности, в оптике (в интерферометрии, спектроскопии, голографии и т.д.).

Покажем, что апертурную функцию щелевой решетки можно

Рис. 8.3

представить сверткой апертурной функции одиночной щели и последовательности d-функций определяющей структуру решетки. В основе такого представления лежит сформулированная выше теорема свертки. Поскольку, как было показано в п. 7.7.5, распределение амплитуды светового поля в дифракционной картине решетки является преобразованием Фурье от ее апертурной функции t(x), а, с другой стороны, это

распределение представляет собой произведение фурье – преобразований апертурной функции t₁(x) одиночной щели и последовательности d-функций, определяющей структуру решетки, то на основании теоремы свертки приходим к сформулированному выше утверждению о том, что апертурная функция решетки t(x) может быть описана как свертка апертурной функции t₁(x) одиночной щели с последовательностью d-функций, определяющей распределение этой щели в решетке, т.е. с функцией f (x). На основании свойства коммутативности свертки функцию t(x) можно представить и как свертку функции f (x) с функцией t₁(x):

t(x) =

Образование такой свертки показано на рис. 8.3. Обратим внимание на следующий факт. В примере на рис. 8.1 при образовании свертки происходит перекрытие ординат сворачиваемых функций; в случае же с решеткой такое перекрытие отсутствует.