4.2. Дифракция Фраунгофера как пространственное преобразование Фурье

Соотношение (6.3) показывает, что в приближении Фраунгофера распределение комплексной амплитуды поля в плоскости XY пропорционально фурье-спектру распределения поля E(x, y) в плоскости XY, расположенной непосредственно за отверстием, причем роль пространственных частот u и v играют соответственно величины и

E′(x, y) = =

= =

= . (6.4)

Тот факт, что поле определяется двумерным преобразованием Фурье функции следует и из соотношения (6.2), когда условие не выполняется. Но в этом случае из-за наличия перед интегралом квадратичного фазового множителя , описывающего расходящуюся сферическую волну в параболическом приближении, фурье-образ функции создается не в плоскости XY, а на сфере радиуса z с центром в начале координат O системы XYZ. Эта сфера называется сферой Гаусса.

Если не учитывать несущественный множитель перед интегралом в соотношении (6.4), то к этому соотношению можно прийти и непосредственно, используя принцип Гюйгенса – Френеля и принцип суперпозиции. Возьмем в плоскости XY, расположенной непосредственно за экраном, некоторую точку М, являющуюся центром элемента поверхности этой плоскости. Этот элемент испускает элементарную волну с комплексной амплитудой В направлении, определяемом направляющими косинусами волна, испущенная из точки М, опережает по фазе на элементарную волну, испущенную из центра отверстия О. По принципу суперпозиции комплексная амплитуда волны в направлении, определяемом указанными направляющими косинусами, равняется сумме этих амплитуд:

,

где интегрирование производится по площади отверстия

Легко убедиться, что указанные выражения пространственных частот u и v совпадают с исходными их определениями как отношений косинусов направляющих углов к длине волны, если учесть, что x / z ≈ y / z ≈ и что при малых углах (которые имеют место в фраунгоферовской дифракции) тангенсы углов равны их синусам. Введя затем направляющие углы и , придем к указанным отношениям.

При практическом осуществлении дифракции Фраунгофера, когда плоскость наблюдения XY является фокальной плоскостью линзы F, в выражениях пространственных частот u и v вместо z следует брать фокусное расстояние линзы f и тогда

u = x /  f, v = y /  f.

Таким образом, оптическая система, состоящая из дифракционного элемента (например, отверстия в непрозрачном экране) и большой глубины свободного пространства, с точностью до фазовых и амплитудных множителей осуществляет преобразование Фурье поля в плоскости XY непосредственно за экраном по пространственным частотам

Плоские волны, соответствующие каждой фурье-компоненте, распространяются под различными углами к оси Z. В плоскости XY каждая фурье-компонента дает световое пятно. Расстояние этого светового пятна от оптической оси (оси Z) пропорционально пространственной частоте спектральной составляющей сигнала: x = y = zv. Следовательно, вблизи оптической оси распространяется световое поле, соответствующее низким пространственным частотам спектра сигнала. Более высоким пространственным частотам соответствуют поля, распространяющиеся под большими углами к оптической оси и дающие световые пятна при больших значениях x и y. Чем больше частоты u и v, тем под большими углами распространяются пространственные гармоники. Если сигнал E(x, y) – действительная функция x и y, то спектр его пространственных частот симметричен относительно оси Z. Пространственное разделение волн, дифрагировавших в различных направлениях, позволяет в плоскости XY (на практике – в задней фокальной плоскости линзы, расположенной за объектным экраном) наблюдать отдельные фурье-компоненты распределения поля E(x, y).

Любая дифракционная оптическая система, как мы увидим в дальнейшем, с помощью когерентных волн ставит в соответствие освещаемому объекту, с одной стороны, его изображение в некоторой плоскости, определяемой законами геометрической оптики, а с другой – двумерный фурье-образ в плоскости, определяемой законами дифракции. Следовательно, образование изображения и преобразование Фурье – два проявления одного и того же явления, называемого дифракцией.

Как уже отмечалось, распределение поля E(x, y) в плоскости XY может быть создано, например, путем освещения плоской монохроматической волной отверстия в экране с апертурной функцией t(x, y) или транспаранта с функцией пропускания по амплитуде t(x, y)¹. Во всех случаях E(x, y) = E₀ t(x, y), где E₀ – амплитуда падающей плоской волны, и тогда

E′(x, y) =

= const E₀ , (6.5)

где const включает в себя все несущественные множители, а пространственные частоты Интегрирование производится в пределах, определяемых областью существования функции Следовательно, дифракционную картину Фраунгофера, создаваемую плоским объектом, можно рассматривать как преобразование Фурье от его функции пропускания. Если такой объект поместить в пучок параллельных лучей монохроматического света, то за объектом вследствие дифракции образуется совокупность пучков, идущих под различными углами к объекту. С помощью собирающей линзы, установленной за объектом, эти пучки можно свести в ее задней фокальной плоскости. При этом все волны, идущие по одному направлению, т.е. имеющие одинаковые пространственные частоты, собираются линзой в одной точке. В результате в задней фокальной плоскости линзы получим распределение интенсивности, которое будет соответствовать распределению пространственных частот объекта.

Таким образом, при дифракции плоской монохроматической волны на любом плоском объекте в фокальной плоскости линзы происходит разложение функции пропускания объекта на отдельные гармонические составляющие (пространственные гармоники), каждая из которых может быть охарактеризована своими пространственными частотами (определяющими направление распространения волны) и фазами. Можно сказать, что дифракционная картина, создаваемая объектом, представляет собой проявление, почти физическое воплощение тех гармоник, которые составляют его функцию пропускания (или, как говорят, его оптическую структуру).

Отождествление фраунгоферовской дифракционной картины для апертурной функции с преобразованием Фурье от этой апертурной функции приводит к трактовке линзы как устройства, выполняющего преобразования Фурье (строгое доказательство этого утверждения будет дано ниже). По этой причине заднюю фокальную плоскость линзы называют дифракционной плоскостью, фурье-плоскостью (фурье-пространством) или, иначе, плоскостью (областью) частот (пространственных).

В одномерном случае, когда функция пропускания зависит только от одной переменной x поле в точке (x′, 0) можно получить исходя из соотношения (5.26). Раскрыв скобки в подынтегральном фазовом множителе и принимая, что и придем к соотношению

E′(x ) = ,

или

E′(x ) = . (6.6)

Следовательно, если апертурная функция зависит только от одной координаты, то распределение поля в фраунгоферовской дифракционной картине будет описываться одномерным преобразованием Фурье этой функции.

Иногда бывает удобно комплексную амплитуду E′(x, y ) =

= E′(uz, vz) представить в виде

E′(x, y ) = C + i S,

где C и S – действительные функции пространственных частот u и v. Тогда, если отверстие симметрично относительно осей X и Y (t(x, y) – четная функция координат x и y), то S = 0, и соотношение (6.5), как легко убедиться (учтя, что Ree^±i𝜑 = cos𝜑) , принимает вид

E′(x, y) =

= const E₀ . (6.7)

В одномерном случае, когда амплитудное пропускание является функцией одной переменной (x),

E (x ) = const E₀ . (6.8)

Интенсивность в этом случае определяется обычным способом:

а при несимметричной функции t(x, y) – по формуле

I(x, y) =

Ниже рассматривается применение соотношений (6.6) – (6.8) к изучению дифракции Фраунгофера на различных апертурах.