Глава 3

РЕАЛИЗАЦИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФРЕНЕЛЯ

3.1. Приближение Френеля

При исследовании дифракционных явлений с помощью формулы Кирхгофа – Френеля – Зоммерфельда (5.3) обычно рассматривают два предельных случая. Первый из них соответствует дифракции Френеля и описывает распределение поля в ближней зоне, второй – дифракции Фраунгофера и описывает распределение поля в дальней зоне. Рассмотрим сначала первый случай.

Будем счигать, что линейные размеры отверстия (области, занятой полем E(x, y) в плоскости XY) и зоны наблюдения дифракции в плоскости X′Y′ малы по сравнению с расстоянием z между этими плоскостями, т.е. будем считать, что справедливо параксиальное приближение, выражающееся условием

(x – x) ² + (y – y) ²  z ² . (5.15)

В этом случае

(5.16)

а r мало отличается от z. Поэтому в знаменателе подынтегрального выражения в (5.3) расстояние r можно заменить на z и вынести множитель 1 / z из-под знака интеграла, т.е. предполагается, что

1 / r 1 / z = const. (5.17)

В аргументе экспоненты замену r на z произвести нельзя, так как возникающая при этом погрешность умножается на очень большое число k = 2 /  ≈ рад / м, вследствие чего фазовые искажения становятся значительными (много большими ). Для получения более точного значения r произведем разложение выражения (5.4) в степенной ряд:

–

(5.18)

Ограничиваясь первыми двумя членами разложения, будем иметь

. (5.19)

Соотношения (5.15) – (5.17) и (5.19) определяют условия дифракции Френеля и называются приближением Френеля. С физической точки зрения приближение Френеля означает замену сферических волновых фронтов вторичных волн Гюйгенса параболическими поверхностями.

В приближении Френеля интеграл суперпозиции (5.3) принимает вид

(5.20)

где учтено, что Интеграл (5.20) называют интегралом суперпозиции в приближении Френеля.

Замена в фазовом множителе точного выражения для r на приближенное (5.19) справедливо, если отброшенные члены более высокого порядка в разложении (5.18) практически не изменяют величины фазового множителя e^ikr. Это возможно, если третий член разложения

.

Откуда

(5.21)

Соотношение (5.21) и определяет условие применимости приближения Френеля. Однако это условие не является необходимым, поскольку основной вклад в значение интеграла (5.20) дают только те значения x и y, которые близки к соответствующим значениям x и y. Действительно, важно лишь, чтобы отброшенные в разложении (5.18) члены практически не изменяли величины интеграла (5.3). В этом смысле имеет значение, насколько быстро осциллирует множитель exp(ikr). При достаточно больших значениях экспоненциальный множитель в (5.20), который можно переписать в виде будет осциллировать быстро, так что отличающийся от нуля вклад в интеграл (5.20) будут давать точки, которые удовлетворяют условию (так называемая область стационарной фазы). Но при и отброшенные в разложении (5.18) члены оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с первыми двумя даже при небольших значениях z. Поэтому интеграл (5.20) можно использовать для вычисления поля и на сколь угодно близких расстояниях z от экрана, независимо от размеров отверстия.

К соотношению (5.20) приводит и представление Рэлея. Используем формулу (5.8) для определения поля в плоскости X′Y′ (в плоскости z = const), подставив в нее координаты x′ и y′ в плоскости X′Y′, заменив символ E на символ E′ и опустив символ z в левой части равенства. Тогда получим

(5.22)

Проведя те же выкладки, что и в п. 5.4, вместо выражения (5.10) будем иметь выражение

, (5.23)

где в обозначении поля в плоскости z = 0 опущен символ 0.

В параксиальном приближении, когда выполняется приближенное равенство (5.13), интеграл (5.23) можно представить в виде

Используя формулу

(5.24)

и полагая  = i  z,  ₁ = i2 (x – x),  ₂ = i2 (y – y), внутренний интеграл

можно вычислить. Получим

.

Учитывая это, приходим к формуле (5.20)

При решении задачи дифракции на одномерных структурах, т.е. таких структурах, функция пропускания которых t(x, y), а с ней и распределение поля E(x, y), зависят только от одной переменной (например, x), т.е. когда E(x, y) = E(x), интеграл (5.20) упрощается. Подставив в этот интеграл указанное распределение поля и учтя, что

=

= ,

так как

(5.25)

а и придем к соотношению

E′( (5.26)

Приближение Френеля описывает френелевскую дифракцию для любой формы волнового фронта. При рассмотрении дифракции Френеля сферических волн следует исходить из интеграла (5.5). Пусть экран освещается сферической волной от точечного источника S, расположенного в точке (0, 0, – a). Тогда в параксиальном приближении для радиуса r₀ сферической волны находим

при условии, что

или при

Это более сильное условие, чем условие Например, при a = 1 м,  = 0,5 мкм максимальный размер области вокруг оси Z, где выполняется условие дифракции Френеля,

12 см.

в то время как условие дает = 1 м. В знаменателе подынтегрального выражения интеграла (5.5) радиус r₀ можно заменить расстоянием a и вынести его из-под знака интеграла. Тогда с учетом (5.16), (5.17) и (5.19) интеграл суперпозиции в приближении Френеля для сферических волн приводится к виду

. (5.27)

Интегральные соотношения (5.20) и (5.27) позволяют значительно упростить решение френелевских дифракционных задач. Ниже мы рассмотрим несколько таких задач.