8.4. Токи в цепи при включении и выключении источника

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника тока ε, резистора сопротивлением R и катушки индуктивности L. Наличие в цепи индуктивности L приводит к тому, что ток в такой цепи не уменьшается мгновенно до нуля при выключении источника (ключ в положении 1) и не достигает мгновенно своего максимального значения, равного при включении источника (переключатель в положении 2). Это обусловлено яв-

Рис.8.

лением самоиндукции: по цепи течет изменяющийся во времени электрический ток, а это приводит к возникновению ЭДС самоиндукции, в соответствии с правилом Ленца противодействующей изменению тока.

Найдем закон установления тока в цепи, содержащей источник тока с ЭДС ε, сопротивление R и индуктивность L. Рассмотрим сначала случай выключения источника (переключатель в положении 1). Второе правило Кирхгофа для образовавшегося замкнутого контура будет иметь вид

Или

(8.*)

Решением этого однородного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными при начальном условии I(0) = I₀ будет

где

– постоянная времени цепи, содержащей сопротивление и индуктивность – RL-цепи. За это время сила тока в цепи уменьшается в e = 2,72 раз. График зависимости I(t) приведен на рис. 8.

Рассмотрим теперь случай включения источника (переключатель в положении 2). Второе правило Кирхгофа в этом случае запишется как

Откуда

Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения (уравнения (8.*)) и одного из частных решений неоднородного уравнения. Оно имеет вид, аналогичный уравнению (3.**). Повторяя вкладки, подобные тем, которые были проведены при решении уравнения (3.*), найдем частное решение неоднородного уравнения: I_частн = ε / R. Общее решение при начальном условии I(0) = 0 будет иметь вид

(8.)

График зависимости (8.) приведен на рис. 8. Установившееся значение силы тока (при равно I = ε / R.

Если по цепи, содержащей катушку индуктивности, протекает ток, то в катушке существует магнитное поле. Если такую катушку замкнуть на некоторое сопротивление R, то, как было показано выше, ток в цепи за счет действия ЭДС самоиндукции будет спадать постепенно (а не мгновенно). При этом за время dt ЭДС самоиндукции будет совершена работа Когда ток разрядки достигнет нулевого значения и работа ЭДС самоиндукции перестанет совершаться, магнитное поле в катушке исчезнет. Поэтому естественно предположить, что работа, совершается индукционным током за счет энергии магнитного поля, т.е.

Проинтегрировав это выражение, получим

Тем самым мы снова пришли к формуле энергии магнитного поля катушки, полученной нами в п.6.8 для стационарного случая.

8.5. Трансформаторы

Трансформаторы – устройства, служащие для повышения или понижения напряжения переменного тока¹. Принцип их действия основан на явлении взаимной индукции.

Трансформатор состоит из двух катушек (первичной и вторичной обмоток) с числом витков N₁ и N₂, укрепленных на общем ферромагнитном сердечнике (образующем замкнутый магнитопровод, рис. 8.).

К первой катушке подведено переменное напряжение. Вторая катушка сначала разомкнута (режим холостого хода).

Найдем отношение абсолютных значений напряжений U₁ и U₂ на концах вторичной и первичной обмоток трансформатора при холостом ходе (т.е. когда вторичная обмотка разомкнута и ток по ней не течет I₂ = 0) равны. Это отношение называется коэффициентом трансформации n:

При холостом ходе первичная обмотка, обладающая большой индуктивностью, обтекается довольно слабым током I₀ (ток холостого хода), отстающим от напряжения U₁ почти на 90⁰. Пренебрегая гистерезисом, можно утверждать, что магнитный поток Ф₀ пропорционален силе тока I₀; он пронизывает первичную обмотку и наводит на ней ЭДС самоиндукции

(8.п)

которая компенсируется приложенным напряжением U₁. Одновременно тот же поток наводит во вторичной обмотке ЭДС взаимной индукции, равную

Отношение как видно из вышеприведенных выражений, равно отношению Таким образом,

При замыкании вторичной цепи на нагрузку сопротивлением Z₂ возникает ток I₂, создающий магнитный поток Ф₂. Ток I₂ отстает по фазе от U₂ на угол φ₂ (индуктивная нагрузка). Одновременно автоматически изменяется и сила тока в первичной цепи. Это связано с тем, что при возникновении магнитного потока Ф₂ меняется намагничение магнитопровода (общего сердечника) и нарушается равенство (8.п). Поэтому возникает самопроизвольное (без вмешательства оператора) изменение силы первичного тока, создающего магнитный поток Ф₁. По правилу Ленца этот поток должен быть почти противоположен по фазе потоку Ф₂. Равновесие наступает, когда сумма магнитных потоков Ф₁ и Ф₂, найденная с учетом фазового сдвига, оказывается снова равной первичному потоку Ф₀. Это постоянство магнитного потока – важнейшее утверждение в теории трансформаторов.

При нормальной нагрузке трансформатора потоки Ф₁ и Ф₂значительно превышают Ф₀. Так как мощность P₂ = U₂I₂cosφ₂, которая потребляется вторичной обмоткой при нормальной нагрузке, примерно равна U₂I₂ (cosφ₂ ≈ 1) и так как она поступает из первичной сети (единственного источника энергии), отдающей трансформатору мощность

P₁ = U₁I₁cosφ₂ ≈ U₁I₁,

то получается

U₂I₂ ≈ U₁I₁,

откуда

Поэтому если в трансформаторе то он повышает напряжение (повышающий трансформатор, n > 1) и одновременно понижает силу тока во вторичной цепи. Если в трансформаторе то понижается напряжение (понижающий трансформатор, n < 1) и одновременно повышается ток во вторичной обмотке.

Первый трансформатор был изобретен русским инженером П. Яблочковым в 1876 г. В настоящее время трансформаторы широко применяются в электротехнике, поскольку позволяют сравнительно просто и с малыми потерями энергии преобразовывать в широких пределах напряжение переменного тока.

1 Переменный ток мы будем рассматривать в следующей главе. Здесь только отметим, что это ток, изменяющийся по синусоидальному закону.