6.10. Применение закона полного тока к расчету

магнитных полей

6.10.1. Магнитное поле соленоида

В качестве примера применения второго основного уравнения стационарного магнитного поля в вакууме (5.15) найдем поле внутри соленоида. Каждый виток соленоида создает магнитное поле, перпендикулярное его плоскости¹, поэтому если соленоид достаточно длинный, а витки вплотную прилегают друг к другу, то магнитное поле внутри соленоида однородно и направлено параллельно оси. Вне соленоида вдали от краев магнитное поле также должно иметь направление, параллельное оси и на большом расстоянии от соленоида должно быть очень слабым, поэтому им можно пренебречь. В качестве контура С, по которому будем вычислять циркуляцию вектора магнитной индукции, выберем прямоугольник 1234, одна сторона 23 которого находится внутри соленоида и совпадает с одной из линий вектора В, а противоположная ей сторона 41 – н большом расстоянии от соленоида (рис. 5.3). Вдоль стонон12 и 34 векторы B и dl взаимно перпендикулярны и поэтому их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,

При получении этого результата было учтено, чnо вдоль линии вектора В этот вектор совпадает по направлению с вектором dl, одинаков по всей длине отрезка 23 и что длина этого отрезка равна l. Суммарный ток, охватываемый выбранным контуром, равен NI, где N – число витков соленоида, I – ток, протекающий по каждому витку. Тогда на основании закона полного тока можно записать Bl = = μ₀NI, откуда получаем формулу индукции магнитного поля внутри соленоида:

где – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Величину NI называют числом ампер-витков, а nI – числом ампер-витков, приходящихся на единицу длины.

Отметим, что этот результат не зависит от того, где внутри соленоида, на каком расстоянии проходит контур интегрирования. Полученный результат, таким образом, доказывает, что поле внутри соленоида однородно.

6.10.2. Магнитное поле тороида

Рассмотрим теперь частный случай соленоида, свернутого в кольцо. Такую фигуру называют тороидом (рис. 5). Найдем поле внутри такого тороида – потому, что оно целиком сосредоточено внутри тороида. В качестве контура интегрирования здесь удобно выбрать окружность, походящую внутри тороида и имеющей центр в центре тороида (на рис. 5 показана пунктиром). Если эта окружность имеет радиус r, то интеграл по этому контуру дает величину:

Из соображений симметрии ясно, что вдоль этого контура магнитное поле постоянно, поэтому его величина выносится из-под знака интеграла. С другой стороны, этот интеграл должен равняться сумме токов, охватываемых контуром интегрирования:

Отсюда, для индукции магнитного поля внутри тороида получается следующее выражение:

То есть индукция магнитного поля внутри тороида в общем случае зависит от расстояния по сечению тороида.

Если тороид тонкий, т.е. радиус его витков значительно меньше радиуса тороида, то отношение стремится к 1, и поле внутри тороида будет определяться, как и для соленоида: В этом случае поле тороида можно считать однородным.