9.3. Поглощение света

9.3.1. Закон Бугера

Найдем зависимость от координаты и времени напряженности электрического поля световой волны, распространяющейся в направлении оси z > 0 в среде с комплексным показателем преломления . Подставим в выражение плоской монохроматической световой волны вместо скорости v ее значение, выраженное через показатель преломления n: Тогда получим

=

Мы пришли к выражению плоской волны, распространяющейся в направлении оси z > 0 с фазовой скоростью и с амплитудой, убывающей вдоль направления распространения:

Такую волну называют затухающей волной.

Затухание световой волны не обязательно связано с поглощением веществом ее электромагнитной энергии. Поглощение электромагнитной энергии, т.е. преобразование ее в другие виды и главным образом в тепловую, имеет место только в том случае если мнимая часть диэлектрической проницаемости e (w) отлична от нуля (коэффициент может быть отличен от нуля и при вещественном отрицательном значении e (w)). Если же Ime (w) = 0, то затухание волны означает, что излучение при e (w) < 0 не может проникнуть в вещество и происходит полное отражение световой волны на границе. Быстрота затухания определяется мнимой частью показателя преломления :

Таким образом, при распространении плоской монохроматической световой волны в среде с комплексным показателем преломления происходят два процесса: изменение скорости распространения волны и ее затухание. Уменьшение скорости световой волны определяется действительной частью показателя преломления , а затухание – его мнимой частью . В этом состоит физический смысл комплексности показателя преломления вещества.

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля, поэтому в поглощающей среде она будет убывать в направлении распространения волны по закону

(8.10)

где вместо координаты z введено обозначение толщины слоя вещества l, I – интенсивность света, прошедшего сквозь слой вещества толщиной l, I₀ – интенсивность волны в плоскости z = 0, т.е. интенсивность света, падающего на слой вещества толщиной l. Соотношение (8.10) называется законом Бугера, а коэффициент – коэффициентом поглощения вещества. Коэффициент определяет толщину слоя после прохождения которого интенсивность волны убывает в e @ 2,78 раза. Расстояние называют глубиной проникновения волны в рассматриваемой среде или длиной ослабления. В материалах, которые считаются прозрачными, расстояние обычно много больше их толщины. В таких материалах световые волны в широком диапазоне частот распространяются практически без ослабления. Примером может служить прохождение видимого света сквозь стекло, воздух, воду и другие прозрачные газы и жидкости. В прозрачной среде происходит только уменьшение скорости световой волны (здесь а @ 0).

Экспериментальные исследования показывают, что закон Бугера справедлив для широкого класса твердых, жидких и газообразных сред в широком диапазоне интенсивностей. Отклонения от этого закона начинают проявляться лишь для очень больших значений интенсивности. Эти отклонения связаны с нелинейностью отклика вещества на сильное световое поле, с квантовыми эффектами и т.п.

Закон Бугера можно записать в виде

(8.11)

Величину K называют показателем поглощения вещества. Из сравнения выражений (8.10) и (8.11) находим, что Важными оптическими характеристиками вещества являются также оптическая плотность, определяемый соотношением и коэффициент пропускания, определяемый как отношение интенсивности света , прошедшего сквозь слой вещества толщиной l, к интенсивности света, падающего на поверхность слоя , т.е. величина Полагая в формуле (13.10) получим связь между этими величинами:

Как и коэффициент поглощения величины K, D и T зависят от частоты или длины волны света.

Получим закон Бугера исходя из корпускулярной теории света. Поглощение света веществом обусловлено поглощением фотонов отдельными атомами. Поглотится фотон атомом или нет даже если его энергия соответствует переходу атома в другое разрешенное состояние, можно предсказать только с некоторой вероятностью. Очевидно, что вероятность поглощения фотона будет тем больше, чем с большим числом атомов он взаимодействует, т.е. чем большую толщину слоя вещества проходит фотон. Следовательно, для случая большого числа атомов вероятность того, что фотон поглотится определится произведением вероятности поглощения одним атомом на число атомов, с которыми он взаимодействует. Вероятность поглощения одним атомом такая же, как и вероятность испускания того же фотона возбужденным атомом. Поглощение, как уже отмечалось в п. 3.4, сечением поглощения Для слоя вещества толщины dl вероятность поглощения составит где N – число атомов в единице объема вещества. Поэтому если первоначальный поток фотонов равен I, то число поглощаемых фотонов, а значит, и поглощаемая интенсивность в слое вещества dl определится выражением

где – коэффициент поглощения. Интегрируя это выражение, приходим к закону Бугера (13.10).

Представляет интерес получить формулу, выражающую закон Бугера, и используя представления Эйнштейна об излучении и поглощении света атомами. При прохождении света через вещество число фотонов в пучке изменяется вследствие двух процессов: поглощения и вынужденного излучения. Изменение числа фотонов за время dt в потоке за счет указанных процессов, согласно формуле (12.5), составит

где u_n - спектральная плотность энергии, – коэффициент Эйнштейна, определяющий вероятность перехода за единицу времени, N_m и N_n – число атомов в состояниях m и n соответственно. Заменив в этой формуле dt на dl / c, получим изменение числа фотонов при прохождении слоя вещества толщиной dl:

Изменение среднего потока энергии – интенсивности света dI на толщине слоя dl определится как

Действительно, если число фотонов в единице объема пучка равно N, то число падающих фотонов на площадку dS за время dt будет NdScdt, а на единичную площадку за единицу времени это число составит Nc. Умножив это число на энергию одного фотона, получим интенсивность I. Спектральная плотность энергии u_n в параллельном пучке света единичного поперечного сечения пропорциональна интенсивности I: u_n = const I. С учетом этого получаем

dI = const hn (N_m – N_n) B_mn I = – a I dl, (8.12)

где коэффициент поглощения a = – const hn (N_m – N_n)B_mn. В нормальном состоянии (состоянии термодинамического равновесия) вещества, когда N_m < N_n при W_m > W_n, коэффициент поглощения a > 0. Интегрируя соотношение (8.12), как и в предыдущем случае, придем к соотношению. (8.10).

Экспоненциальная зависимость в законе Бугера связана с вероятностным характером переходов в квантовых системах. Вероятностное описание является общей особенностью квантовой механики. Поэтому поглощение, как и излучение (формула (5.И)), описывается экспоненциальным законом.