9.2. Дисперсия света

9.2.1. Классическая теория дисперсии

Рассмотрим сначала классическую электронную теорию дисперсии. Будем исходить из формулы Максвелла . Эта формула показывает, что дисперсия света, т.е. зависимость показателя преломления вещества от частоты света, является следствием зависимости от частоты диэлектрической проницаемости среды

Под действием осциллирующего электрического поля E(t) = = E₀ световой волны вещество будет испытывать переменную поляризацию. Причем из-за большой частоты световых волн эта поляризация будет обусловлена смещением только электронов атомов (будет иметь место электронная поляризация). Можно считать, что индуцированный дипольный момент атома p будет определяться смещением только внешних (оптических) электронов. Тогда для атома с одним оптическим электроном индуцированный дипольный момент p = ex, где x – смещение колеблющегося оптического электрона из положения равновесия. Поляризованность вещества определится как P = Np = Nex, где N – число атомов в единице объема вещества.

Будем считать для простоты, что среда, в которой распространяется свет, является достаточно разреженной, например, одноатомным газом. Атомы среды в этом случае будут располагаться на больших расстояниях друг от друга, вследствие чего на атом будет воздействовать только поле световой волны; влиянием же полей, создаваемых соседними атомами, можно пренебречь. Уравнение для смещения x оптического электрона из положения равновесия под действием электрического поля волны в этом случае будет совпадать с уравнением (3.9), а величина x определится формулой (3.11)

x(t) .

Учитывая, что в переменном электрическом поле, как и в постоянном P = e₀cE, где c – диэлектрическая восприимчивость вещества, а 1 + c = e, придем к соотношению

(8.3)

Для разреженной среды второе слагаемое в подкоренном выражении будет много меньше единицы. Тогда, воспользовавшись приближенной формулой при получим

(8.4)

Из-за члена , учитывающего затухание колебаний электрона, показатель преломления вещества оказывается комплексной величиной. Представим его в виде . Как будет показано ниже, действительная часть показателя преломления определяет фазовую скорость распространения волны, а мнимая – убывание амплитуды и интенсивности световой волны при прохождении через вещество. Умножив числитель и знаменатель дроби в формуле (13.4) на комплексно сопряженный знаменатель и отделив действительную и мнимую части, будем иметь

(8.5)

(8.6)

а) б)

Рис. 8.1

Примерный ход показателя преломления с частотой, определяемый формулой (8.5), приведен на рис. 8.1, а. Видно, что всюду, за исключением области, где w очень близко к собственной частоте кривая возрастает. Такая зависимость носит название нормальной дисперсии (так как этот случай встречается наиболее часто). Вблизи собственной частоты кривая убывает, и в этом случае говорят об аномальной дисперсии. В области нормальной дисперсии и групповая скорость, согласно (13.2), меньше фазовой, . В области же аномальной дисперсии, где наоборот, фазовая скорость меньше групповой, При показатель преломления и , а при где фазовая скорость .

Тот факт, что при фазовая скорость больше скорости света в вакууме ( ) не противоречит теории относительности. Дело в том, что ограничение на скорость ( ) имеет место для движения материальных тел и передачи сигналов. Фазовая же скорость – это скорость строго монохроматической волны, а с помощью такой волны передать сигнал невозможно. Передача сигнала (и энергии) осуществляется с помощью группы волн с групповой скоростью u, а в указанной области эта скорость меньше c.

В области аномальной дисперсии, т.е. вблизи резонанса, когда можно положить Тогда получим

где – так называемая плазменная частота.

Собственные частоты оптических электронов многих веществ лежат в далекой ультрафиолетовой области спектра, поэтому для волн видимого диапазона и, следовательно, . Поэтому в области далекой от резонанса членом с b в знаменателе можно пренебречь. С учетом этого зависимость в указанной области будет иметь вид

В общем случае атом обладает не одной собственной частотой , а целым набором различных частот и соответствующих им коэффициентов затухания m = 1, 2, 3, … В этом случае атом можно рассматривать как систему гармонических осцилляторов с собственными частотами и коэффициентами затухания Сравнение теоретической кривой с экспериментальной, показывает также, что эффективное число осцилляторов для любой резонансной частоты меньше, чем число атомов N в единице объема. Это обстоятельство можно учесть, приняв число осцилляторов N_m с частотой равным N_m = Nf_m. Здесь число – сила осциллятора с частотой указывающее, с каким весом входит данная собственная частота и характеризующее вклад каждого осциллятора в поляризуемость атома. Оно характеризует также относительную интенсивность различных спектральных линий. В классической теории величина определяется из экспериментальных данных. С учетом сказанного формула (13.3) должна быть заменена формулой

(8.7)

а формула (13.5) – формулой

(8.8)

График зависимости по формуле (13.8) показан на рис. 8.1, б.

Дисперсию света впервые наблюдал Ньютон (1672 г.), пропустив белый свет через призму. Призма обладает свойством отклонять падающие на нее лучи к основанию. При этом угол между падающим и преломленным лучами определяется формулой

(8.9)

где n – показатель преломления материала призмы, – двугранный угол между гранями, через которые проходит световой луч, называемый углом раствора призмы или преломляющим углом призмы (формула (13.9) справедлива для тонкой призмы, т.е. при малом , ее вывод будет дан в п. 14.1). Так как угол отклонения преломленного луча пропорционален показателю преломления призмы n, а последний зависит от частоты света w, то для разных компонент белого света угол отклонения будет различным. Поэтому на экране, расположенном за призмой, будет наблюдаться спектр белого света, т.е. широкая полоска, окрашенная в непрерывно чередующиеся цвета радуги – от красного до фиолетового. При этом, поскольку в области нормальной дисперсии показатель преломления, а с ним и угол , растут с ростом частоты света, то наиболее отклоненными оказываются фиолетовые лучи, а наименее отклоненными – красные.

Таким образом, призма, как и дифракционная решетка, производит разложение белого света в спектр. Но если дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по длинам волн, то призма разлагает лучи в спектр по значениям показателя преломления.

На свойстве призмы разлагать белый свет в спектр основано действие призменных спектральных приборов.