8.5. Принцип Ферма

Важную роль в геометрической оптике играет, сформулированный в середине XVII в. Ферма принцип наикратчайшего оптического пути, или принцип наименьшего времени.

Найдем время t_AB, затрачиваемое светом на прохождение пути между точками А и В одного и того же луча (рис. 10.4). Имеем

где dl – элемент длины луча, v – скорость света в среде с показателем преломления n. Величина

Представляет собой оптическую длину пути между точками А и В. Аналогичным образом можно определить оптическую длину пути и для произвольной кривой С. В этом случае dl – элемент длины этой кривой. Принцип Ферма утверждает, что оптическая длина реального луча меньше оптической длины любой другой кривой, соединяющей те же точки A и B. Иными словами, свет распространяется таким образом, чтобы время его распространения было минимальным.

Покажем, что принцип Ферма является следствием основного уравнения геометрической оптики. Так как согласно интегральному инварианту Лагранжа (10.8) линейный интеграл не зависит от формы пути, а определяется только начальной (А) и конечной (В) точками, то можно записать

.

Интеграл между точками А и В, стоящий в левой части этого равенства, берется вдоль светового луча S, а интеграл, стоящий в правой части, – вдоль произвольной кривой С, соединяющей те же точки А и В.

На луче S векторы s и dl направлены одинаково, поэтому s × dl = = dl (cosα = 1, где a – угол между векторами s и dl), а значит, оптическая длина луча S

(10.14)

На кривой С скалярное произведение s × dl = dl cosa £ d. Следовательно, для кривой С

Тогда на основании равенства (10.14) будем иметь

Причем равенства имеют место только в том случае, если кривая С сама является лучом s.

Таким образом, используя основное уравнение геометрической

оптики в форме (10.7), мы показали, что свет между точками А и

Рис. 8.

В распространяется по тому пути, который требует наименьшего времени (или оптическая длина которого минимальна).

Физический смысл принципа Ферма заключается в следующем. При заданной частоте время t_AB распространения света между точками А и В будет пропорционально интегралу где – длина волны света в среде с показателем преломления n. Но этот интеграл определяет число длин волн, укладывающихся на отрезке АВ. Поэтому, в соответствии с принципом Ферма, можно утверждать, что свет выбирает из всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, вдоль которого укладывается минимальное число длин волн. Но так и должно быть, так как в этом случае получается положительная интерференция, или главный максимум в волновой оптике.

Из принципа Ферма непосредственно следует закон прямолинейного распространения света. Действительно, в оптически однородной среде наикратчайшим путем между любыми точками является прямая линия.

Для получения законов отражения и преломления света, а также решения других задач геометрической оптики, принцип Ферма формулируют в следующей, более общей, форме. Реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соответствующая ему оптическая длина имеет стационарное значение, т.е. такое значение, при котором малое изменение пути не приводит в первом приближении к изменению оптической длины. Другими словами, свет выбирает один путь из множества близлежащих путей, требующих почти одинакового времени для прохождения. Математически это выражается тем, что для реального луча

(10.15)

где символ δ обозначает операцию варьирования.

Для обоснования принципа Ферма в обобщенной форме (10.15) рассмотрим характер распространения света от точечного источ-

Рис. 7.5

ника S к произвольной точке наблюдения Р, исходя из представления светового поля в виде сферических вторичных волн. Построим на некотором расстоянии от источника S вспомогательную поверхность Френеля, в качестве которой для простоты возьмем плоскость (рис. 10.5). Свет от источника S может придти в любую точку плоскости Каждую такую точку можно рассматривать как вторичный источник сферических волн. На некотором расстоянии от построим параллельно ей еще одну вспомогательную плоскость Каждая точка этой плоскости также может рассматриваться как вторичный источник. Амплитуда этого вторичного источника будет определяться суммой амплитуд колебаний светового поля от всех источников плоскости

Построив за третью плоскость и т.д., можно представить распространение света от S к Р как последовательный процесс возбуждения вторичных источников в каждой точке плоскости (m = 1, 2, 3, …). При этом колебания в точке Р будет определяться суммой колебаний, прошедших из S в Р по всевозможным траекториям между плоскостями (эти траектории представляют собой ломаные линии, каждое звено которых соединяют две соседние плоскости). Амплитуды колебаний света вдоль всех траекторий примерно одинаковы (вследствие одинаковости условий распространения колебаний по всем траекториям), а фазы несколько отличаются из-за различия длин траекторий. Если длина пути для двух близких траекторий меняется незначительно, так что лучи приходят в точку Р в фазе, то они будут усиливать друг друга. Если же разница в длинах траекторий соседних лучей такова, что они приходят в точку Р в противофазе, то лучи будут гасить друг друга. Усиление будет происходить для тех лучей, у которых небольшие изменения формы траектории практически не приводят к изменению фазы колебаний в точке Р, а значит, и к изменению длины траектории, т.е. для траекторий, длина которых имеет стационарное значение.

В заключение этого параграфа отметим, что между геометрической оптикой и классической механикой существует глубокая аналогия. В основе ее лежит аналогия между принципом Ферма и известным из механики принципом Мопертюи. Принцип Ферма утверждает минимальность оптического пути света, т.е. интеграла (так как взятого вдоль реального луча, по сравнению с таким же интегралом, вычисленным вдоль любой другой кривой, соединяющих те же точки А и В. Принцип Мопертюи утверждает минимальность интеграла действия взятого вдоль истинной траектории материальной точки, по сравнению с таким же интегралом, взятым вдоль любой другой кривой, соединяющей те же точки А и В. Здесь p – импульс материальной точки, связанный с ее полной механической энергией E соотношением , U – потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле, m – масса материальной точки. Векторы k и p направлены по касательным к соответствующим траекториям.

Проявлением указанной аналогии является аналогия между световым лучом и траекторией материальной точки, аналогия между волновым вектором k и импульсом p и другими понятиями геометрической оптики и классической механики. Но геометрическая оптика – это предельный (при l ® 0) случай более общей волновой оптики. Классическая же механика есть предельный случай волновой (квантовой) механики, когда длина волны де Бройля частицы l ® 0. Поэтому в общем случае имеет место аналогия между волновой оптикой и квантовой механикой.