7.3. Применение метода зон Френеля и графического

метода к рассмотрению дифракции Фраунгофера на щели

Когда фронт волны дойдет до щели и займет положение АВ (рис. 8 – другой рисунок) 0, каждая точка щели станет источником вторичных волн. Волны, распространяющиеся под углом , собираются линзой в точке Р, где и интерферируют. Чтобы установить результат интерференции в этой точке, мысленно разделим отрезок ВС на ряд отрезков длиной  /2 и, проводя из концов этих отрезков линии, параллельные АС, до пересечения их с АВ, мы разобьем фронт волны, покрывающий щель, на ряд полосок одинаковой ширины. Эти полоски и являются в данном случае зонами Френеля, так как разность хода волн от концов этих полосок до точки наблюдения Р равна  /2. Эта разность хода возникает лишь на пути от исходного фронта АВ до плоскости АС, а далее до фокальной плоскости FF параллельные лучи не меняют своей разности хода, ибо линза не создает дополнительной разности хода. На расстоянии ВС = asin уложится

n = (3.8)

таких отрезков. На такое же число зон разобьется и фронт волны. Если число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели a и ориентированных под одинаковым углом  к направлению наблюдения, окажется четным, то каждая пара соседних зон взаимно погасит друг друга, и при данном угле  (в точке Р) на экране будет наблюдаться дифракционный минимум. Положив в формуле (3.8) n = 2m, получаем следующее условие минимумов:

a sin = m, (3.9)

где m – целое число, не равное нулю. Как видно из рис. 3.6, величина asin = ВС есть разность хода волн, исходящих из точек A и B, лежащих на краях щели, поэтому условие минимума означает, что эта разность хода должна составлять целое число длин волн.

При нечетном n амплитуды волн, приходящих в точку наблюдения от одной из зон, окажутся нескомпенсированными, и при данном  будет наблюдаться дифракционный максимум. Положив в формуле (3.8) n = (2m + 1), получим условие дифракционного максимума: asin = (m + 1/2). Следовательно, если разность хода волн, исходящих из крайних точек А и В щели, равна полуцелому числу длин волн, в направлении, определяемом углом , будет наблюдаться дифракционный максимум.

Для количественного определения интенсивности дифрагировавшего света в направлении, определяемым углом , воспользуемся графическим способом. Мысленно разделим фронт волны, покрывающий щель, параллельно ее краям (размеру b) на большое число узких полосок (не являющимися зонами Френеля) одинаковой ширины (рис.7.). При равномерном освещении щели и равенстве площадей всех полосок амплитуды волн, распространяющихся в данном направлении  от каждой полоски, будут одинаковы. Амплитуду волны, обусловленную каждой полоской, представим в виде фазовых векторов. За начало отсчета фазы примем фазу центральной полоски. На векторной диаграмме, изображенной на рис. 7. ,а, вектор амплитуды световой волны от этой полоски обозначен как Фаза волны от соседней полоски, расположенной выше О, опережает фазу а от соседней полоски, расположенной ниже, - отстает от нее. На векторной диаграмме соответствующие векторы добавляются к вектору по мере того, как пары полосок оказываются все дальше от центра щели О, пока не будут учтены вклады от всех полосок. В результате этого построения получается правильный многугольник Результирующая амплитуда, создаваемая всей щелью, изображается вектором Для более точного решения ширину полосок следует устремить к нулю. Тогда получится дуга окружности радиуса Так как волна от точки А опережает по фазе волну от точки О на величину

(см. рис. 8.,а), а волна от точки В отстает на такую же величину α, то получающаяся дуга образует, как видно из рис. 8., а, угол Тогда, как следует из того же рис. 8.,а, Дуга длиной равна полной

Рис. 7.

длине всех элементарных векторов, вытянутых в прямую линию, как показано на рис. 8., б. Но эта линия представляет амплитуду волны в направлении, определяемом углом так как в этом направлении разность хода отсутствует ( ) и все элементарные волны находятся в фазе с волной, исходящей из точки О. Поэтому можно записать: Учитывая это, находим

=

= E₁(0)sinc(ua). (7.)

Мы пришли к полученному ранее соотношению.

Следует отметить, что вид векторной диаграммы определяется значением пространственной частоты u. При u = 0, что соответствует векторная диаграмма имеет вид горизонтального отрезка прямой. В этом случае все элементарные векторы складываются синфазно, образуя вектор, представляющий комплексную амплитуду в направлении падающей волны. При изменении u от нуля результирующая амплитуда уменьшается, что соответствует искривлению векторной диаграммы, как это и показано на рис. 8., а. Результирующий вектор при этом остается параллельным базовой линии фазы, т.е. его фаза равна фазе амплитуды в направлении u = 0. При u = 1 / a (т.е. при asinφ = λ – направление первого минимума амплитуды), когда результирующая амплитуда равна нулю, векторная диаграмма образует полную окружность. В этом случае волны, создаваемые множеством бесконечно малых элементов, на которые можно разбить щель, приходят в точку наблюдения так, что их суммарная амплитуда равна нулю. По достижении пространственной частоты значения u = 2 / a (asinφ = 2λ) векторная диаграмма проходит больше полной окружности, и потому результирующий вектор вновь будет параллелен базовой линии. Однако при этом фаза равна π, что проявляется в отрицательной амплитуде. Последующие нули и обращения фазы соответствуют u = 3 / a, 4 / a, 5 / a, …, и векторная диаграмма образует все новые окружности постепенно уменьшающегося диаметра.