7.2. Дифракция Фраунгофера на щели

Используя принцип Гюйгенса – Френеля и принцип суперпозиции полей, рассчитаем распределение интенсивности при дифракции плоских волн на узкой щели. Так как рассматривается дифракция Фраунгофера, то для ее получения щель следует освещать плоской волной, а за плоскостью щели следует поместить собирающую линзу (рис. 6.). Совместим с плоскостью щели

координатную плоскость XY, направив при этом ось X перпендикулярно краям щели и поместив начало координат в ее середине.

Рис. 7.

Так как длина щели b принимается очень большой (b >> a), то дифракцию вдоль оси Y можно не учитывать и считать, что дифракция будет происходить только в направлениях, перпендикулярных оси Y; волновой вектор луча, дифрагировавшего в направлении точки Р, будет лежать в плоскости, параллельной плоскости XZ, образуя с направлением падающей на щель волны угол Поэтому решать одномерную задачу, рассматривая характер дифракционной картины вдоль оси X. Покроем щель плоской поверхностью σ (эта поверхность совпадает с волновым фронтом световой волны). В качестве элемента поверхности dσ выберем узкую полоску шириной dx, вырезанную из поверхности σ вдоль щели и находящуюся на расстоянии x от ее середины (рис. 6.). падающей на щель волны угол Поэтому можно решать одномерную задачу, рассматривая характер дифракционной картины вдоль оси X. Покроем щель плоской поверхностью σ (эта поверхность совпадает с волновым фронтом световой волны). В качестве элемента поверхности dσ выберем узкую полоску шириной dx, вырезанную из поверхности σ вдоль щели и находящуюся на расстоянии x от ее середины (рис. 6.). Участок dx

посылает в направлении, определяемом углом φ к оси Z цилиндрическую волну (ее осью является эта полоска) с запаздыванием по фазе на kxsinφ от волны того же направления, исходящей из середины щели О. При записи амплитуды этой волны учтем, что амплитуда волны, посылаемая полоской dx пропорциональна ширине полоски dx: dA = Cdx. Учтем также, что вся щель в направлении φ = 0 посылает излучение с некоторой амплитудой E₀. Тогда имеем откуда C = E₀ / a. Следовательно, элемент поверхности dx щели посылает в направлении угла φ волну с комплексной амплитудой

,

откуда

=

= E₀ = E₀sinc(ua).

При записи второго интеграла было учтено, что Полученное выражение и определяет пространственное распределение комплексной амплитуды при дифракции Фраунгофера на щели.

Таким образом, распределение амплитуды дифрагировавшего поля по направлениям, определяемым углом , дается функцией

E(x,0) = E₁(0)sinc(ua) = E₁(0)sinc ,

где E₁(0) = constE₀a и учтено, что пространственная частота u = = x/( f), x– координата в плоскости наблюдения FF, f – фокусное расстояние линзы.

Интенсивность света будет иметь вид

Как функция от координаты x интенсивность определится выражением

I(x,0) = I₁(0)sinc² , (3.37)

где I₁(0)  .

Такой же результат для E₁(Р) получается и при использовании выражения (9.8). Применение этой формулы законно, так как при выбранном начале координат щель симметрична относительно оси X. Поэтому имеем

E₁′(φ) = const

= const = E(0)sinc(ua) =

где E₁(0) = constE₀.

График зависимости приведен на рис.3.15. Из графика видно, что интенсивность имеет ряд быстро убывающих максимумов, разделенных минимумами, в которых она обращается в нуль.

Наибольшего значения, равного I(0), интенсивность достигает в центре дифракционной картины (напомним, что max sinc(x) =1 при x = 0). В этом центральном максимуме сосредоточена основная доля светового потока, выходящего из щели. Минимальные значения, равные нулю, функция I(x,0) принимает, когда ее аргумент равен целому числу  m, т.е. на прямых x = m f /a, параллельных краям щели. Число m = 1, 2, 3, … называется порядком дифракционного минимума. Здесь и ниже знаки «  » связаны с тем, что минимумы (или максимумы) всех порядков m, кроме m = 0, расположены симметрично относительно прямой x = 0.

Учитывая, что пространственная частота u = sin , распределение амплитуды можно описать функцией от угла , определяющего направление на точку наблюдения P(x,0):

E( ) = E₁(0)sinc ; (3.38)

распределение интенсивности при этом определится функцией I) = I₁(0)sinc² . Интенсивность достигает максимального значения в направлении угла  = 0 и обращается в нуль при углах , удовлетворяющих условию asin = m. Эта формула совпадает с формулой (3.9), полученной с помощью метода зон Френеля.

График зависимости интенсивности определяемой формулой (6.13), приведен на рис. 8.2. Из графика видно, что интенсивность имеет ряд быстро убывающих максимумов, разделенных минимумами, в которых она обращается в нуль. Наибольшего значения, равного , интенсивность достигает в центре дифракционной картины, т.е. при а значит, при (напомним, что max sinc(x) = 1 при x = 0). В этом центральном максимуме сосредоточена основная доля светового потока, выходящего из щели. Минимальные значения, равные нулю, функция имеет, когда ее аргумент принимает значения, равные где m – целое число, включая m = = 0, т.е. в направлениях, определяемых условием

(8.13)

Из формулы (9.14) видно, что минимум интенсивности достигается на прямых параллельных краям щели. Число m = = 1, 2, 3, … называется порядком дифракционного минимума¹. Минимумы первого порядка имеют координаты

x₁ =   f / a. (8.14)

Таким образом, дифракционная картина при дифракции Фраунгофера на щели представляет собой яркую светлую полосу,

Рис. 8.2

являющуюся изображением щели, по обеим сторонам которой симметрично расположены чередующиеся темные и светлые полосы. При этом освещенность боковых полос значительно меньше освещенности центральной полосы и быстро убывает с ростом номера полосы. Эти боковые полосы являются следствием интерференции испытавших дифракцию волн, распространяющихся из разных точек щели в различных направлениях и сведенных линзой в ее задней фокальной плоскости. Полосы с распределением интенсивности в дифракционной картине, описываемой функцией вида (9.13), называют sinc²-полосами.

Центральная светлая дифракционная полоса заключена между минимумами первых порядков (m =  1), т.е. в пределах углов где

(Угол  / a называют дифракционной расходимостью пучка света за отверстием размера a.) Как видно из этого соотношения, ширина центрального максимума тем больше, чем уже щель. При центральный максимум расплывается на всю плоскость ( ). Линейная ширина центрального дифракционного максимума

x₁ = 2 f / a. (8.15)

Эта величина определяет и ширину изображения щели. Заметим, что ширина изображения тем больше, чем уже щель.

Распределение поля по щели, определяемое как произведение амплитуды E₀ плоской волны, падающей на щель, на функцию пропускания щели t(x), такое же, как в прямоугольном пространственном импульсе высотой E₀ и шириной a. Поэтому полученные выше формулы для распределения поля в дифракционной картине при дифракции Фраунгофера на щели можно получить, произведя фурье-преобразование от функции распределения поля в указанном прямоугольном импульсе. Эти формулы были получены нами в разделе «Электричество и магнетизм» (формулы 10. в [17]).

Если щель бесконечно узкая, ее апертурная функция аппроксимируется дельта-функцией Дирака  (x) и тогда поле в точке Р найдется как преобразование Фурье от дельта-функции:

E₁′(φ) = const E₀ = const E₀.

Мы пришли к тому же результату, что и в случае дифракции Френеля: амплитуда поля, создаваемого бесконечно узкой щелью, имеет одно и то же значение во всех точках плоскости наблюдения (в фокальной плоскости ).