Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці.
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №10
Тема заняття: Розв’язання задач теорії ігор.
Знаходження сідлової точки. Відбір домінуючих стратегій.
Мета: сформувати вміння та навички розв’язання задач теорії ігор, знаходження сідлової точки та відбору домінуючих стратегій.
Методичні рекомендації: Вивчити лекцію №6 та ознайомиться з наступною літературою [3 с. 224-250], [4 с. 239-251].
Задача 1
Визначити ціну гри та оптимальні стратегії гри, заданої платіжною матрицею:
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
.
ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ:
Задача 2
Визначити ціну гри та оптимальні стратегії гри, заданої платіжною матрицею:
.
Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці.
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 11
Тема заняття: Розв’язання задач теорії ігор.
Графічний метод розв’язання задач теорії ігор розміром 2x2, 2xn, mx2.
Мета: сформувати вміння та навички розв’язання задач теорії ігор розміром 2x2, 2xn, mx2 графічним методом.
Методичні рекомендації: Вивчити лекцію №6 та ознайомиться з наступною літературою [3 с. 224-250], [4 с. 239-251].
Задача 1
Визначити оптимальні стратегії і ціну гри, використовуючи геометричну інтерпретацію:
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
; 1.4.
.
ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ:
Задача 2
Визначити оптимальні стратегії і ціну гри, використовуючи геометричну інтерпретацію:
2.1.
;
2.2.
Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці.
ЛАБОРАТОРНЕ ЗАНЯТТЯ №9
Тема заняття: Розв’язання задач теорії ігор.
Зведення задач теорії ігор до задач ЛП та вирішення останніх симплексним методом.
Мета: сформувати вміння та навички розв’язання задач теорії ігор симплексним методом.
Методичні рекомендації: Вивчити лекцію №6 та ознайомиться з наступною літературою [3 с. 224-250], [4 с. 239-251].
Постановка завдання:
Якщо матрична гра не має сідлової точки, то знаходження її розв’язку, особливо за великої кількості стратегій, — доволі складна задача, яку можна ефективно розв’язати методами лінійного програмування.
Задача
розглядається в такому формулюванні:
знайти вектори ймовірностей
і
з метою визначення оптимального значення
ціни гри та оптимальних стратегій.
Зауважимо, що доведено основну теорему теорії ігор: кожна скінчена гра має принаймні один розв’язок, який можливий в області змішаних стратегій.
Отже, нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею
.
Оскільки оптимальні стратегії гравців А і В дозволяють отримати виграш
,
то використання оптимальної змішаної стратегії гравцем А має забезпечувати виграш не менший за ціну гри в разі вибору гравцем В будь-яких стратегій. Математично ця умова записується так:
.
(1)
Відповідно
використання оптимальної змішаної
стратегії гравцем В має за будь-яких
стратегій гравця А забезпечувати програш
В, що не перевищує ціни гри
:
.
(2)
Ці два співвідношення застосовують для знаходження розв’язку гри.
Отже,
потрібно знайти
,
щоб
за умов
,
,
.
Зауважимо, що ціна гри невідома і має бути визначена під час розв’язування задачі.
Модель ігрової задачі може бути спрощена.
З (1) маємо:
Поділивши всі обмеження на , дістанемо:
Нехай
,
тоді
Згідно
з умовою
,
звідки
.
Отже, цільова функція початкової задачі набирає такого вигляду:
.
У результаті задача лінійного програмування:
(3)
за умов
(4)
. (5)
Розв’язавши
цю задачу симплексним методом, знайдемо
значення
,
а також
і
,
тобто визначимо змішану оптимальну
стратегію для гравця А.
За аналогією запишемо задачу лінійного програмування для визначення оптимальної стратегії гравця В. Нехай
.
Тоді маємо таку лінійну модель:
за умов
.
Очевидно, що задача лінійного програмування для гравця В є двоїстою до задачі гравця А, а тому оптимальний розв’язок однієї з них визначає оптимальний розв’язок спряженої.
Розглянемо приклад на застосування методів лінійного програмування до знаходження оптимального розв’язку гри.