Задача 1

Розв’язати методом потенціалів транспортну задачу:

1.1. ; 1.2. ;

1.3. .

ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ:

Задача 2

Розв’язати методом потенціалів транспортну задачу:

2.1. ; 2.2. .

Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Практичне заняття №5

Тема заняття: Розв’язання взаємо-двоїстих задач.

Мета: сформувати вміння й навички побудови та розв’язання двоїстих задач.

Методичні рекомендації: Вивчити лекцію №3 та ознайомиться з наступною літературою [1 с. 118-155], [3 с. 80-126], [4 с. 88-116].

Постановка завдання:

Кожній задачі лінійного програмування відповідає двоїста, що формується за допомогою певних правил безпосередньо з умови прямої задачі.

Якщо пряма задача лінійного програмування має вигляд

Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n  max

,

то двоїста задача записується так:

F = b₁y₁ + b₂y₂ + … + b_my_m  min

за обмежень

.

Порівнюючи ці дві сформульовані задачі, доходимо висновку, що двоїста задача лінійного програмування утворюється з прямої задачі за такими правилами.

1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі.

2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, причому кількість обмежень дорівнює кількості невідомих прямої задачі.

3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (max), то цільова функція двоїстої задачі — на визначення найменшого значення (min), і навпаки.

4. Коефіцієнтами при змінних в цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.

5. Правими частинами системи обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти при змінних в цільовій функції прямої задачі.

6. Матриця

,

що складається з коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, і матриця коефіцієнтів в системі обмежень двоїстої задачі

утворюються одна з одної транспонуванням, тобто заміною рядків стовпчиками, а стовпчиків — рядками.

Двоїсті пари задач лінійного програмування бувають симетричні та несиметричні.

У симетричних задачах обмеження прямої та двоїстої задач є нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід’ємних значень.

У несиметричних задачах обмеження прямої задачі можуть бути записані як рівняння, а двоїстої — лише як нерівності. У цьому разі відповідні змінні двоїстої задачі набувають будь-якого значення, не обмеженого знаком.

Різні можливі форми прямих задач лінійного програмуван- ня та відповідні їм варіанти моделей двоїстих задач наведено далі.

Пряма задача	Двоїста задача
Симетричні

Несиметричні

Розглянемо застосування теорії та співвідношень двоїстості на конкретному прикладі.