Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) (ЮРГТУ (НПИ))

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 8. Числовые ряды.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

653 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

8.2. Признаки сходимости знакоположительных рядов

Определение 4. Числовой ряд

(4)

называется знакоположительным, если .

Если , то ряд называется знакоотрицательным. Знакоположительные и знакоотрицательные ряды называются знакопостоянными. Для исследования сходимости знакопостоянных рядов достаточно изучать сходимость знакоположительных рядов.

Теорема 3. (основной признак) Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены сверху, т.е.

(5)

□ Необходимость. Пусть ряд сходится, тогда . Т.к. сходится, то она ограничена, следовательно, она ограничена и сверху.

Достаточность. Пусть последовательность ограничена сверху. Но , т.е. ограниченая и снизу, например нулём. Т.е. ограничена, причем очевидно, что

т.е. она монотонная. Но всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел, т.е. сходится, а, следовательно, ряд сходится.

■

Теорема 4. (Признак разреженности) Пусть члены знакоположительного ряда монотонно убывают, т.е. Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (6)

□ По основному признаку достаточно установить ограниченность частичных сумм. Обозначим

Тогда т.к. , то будем иметь

т. к. …. Таким образом .

С другой стороны:

т.е.

Отсюда обе последовательности частичных сумм либо ограничены, либо неограниченны, отсюда по обе частичные суммы сходятся или расходятся одновременно, то и ряды сходятся или расходятся одновременно. ■

Пример 3. Ряд называется обобщенным гармоническим рядом. Исследовать его сходимость в зависимости от параметра α.

Если то частичные суммы неограниченны, т.е. ряд расходится.

Если то по теореме 16 этот ряд сходится одновременно с рядом

который сходится, если . При остальных – расходится.

Теорема 5. (Признак сравнения) Пусть имеются два знакоположительных ряда:

(7) (8),

причем (9)

Тогда: а) если ряд (8) сходится, то сходится и ряд (7); б) если ряд (7) расходится, то расходится и ряд (8).

□ Обозначим частичные суммы рядов:

а) Если ряд (8) сходится, то его частичные суммы ограничены сверху, т.е. . Но из (9) следует, что , т.е. частичные суммы ряда (7) также ограничены, тогда по основному признаку ряд (7) сходится;

б) Докажем второе утверждение от противного. Пусть сходится, тогда по утверждению а) должен сходиться и ряд (7), но по условию он расходится. Противоречие, следовательно ряд (8) расходится. ■

Ряд (8) для ряда (7) называют мажорантой и говорят, что ряд (8) мажорирует ряд (7).

Пример 4. Исследовать сходимость рядов:

а) ; Ясно, что .

Рассмотрим ряд , . Т.к. а ряд - сходится как геометрическая прогрессия, следовательно, исходный ряд сходится.

б) . Так как , а ряд расходится, как обобщенный гармонический ряд, следовательно, и ряд расходится.

Теорема 6. (Предельный признак сравнения) Пусть даны два знакоположительных ряда (7) и (8). Тогда, если существует конечный и отличный от нуля предел

, (10)

то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.

□ Пусть предел (10) существует. Очевидно, что с>0 ( . Тогда . Рассмотрим интервал (p,q) с центром в точке с. По определению предела, начиная с некоторого n, будет выполняться неравенство

. (11)

Пусть - сходится, тогда - тоже сходится, и по признаку сравнения из (11) ряд сходится.

Если - расходится, то - тоже расходится и из (10) и теоремы ряд расходится. ■

Следствие. Если с=0 и сходится, то сходится и ряд (7). Если с=+∞ и ряд расходится, то ряд (7) расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

1. Проверим необходимый признак:

2. Используем достаточный признак сравнения в предельном виде

Этот предел будет конечен и равен , когда , т.е. Т.к. обобщенный гармонический ряд сходится, то потеореме ряд сходится.

Теорема 7. (Признак Даламбера) (1717-1783) Если существует предел , (12)

то знакоположительный ряд сходится при λ<1 и расходится при λ>1.

□ а) Пусть λ<1. Тогда существует число q: λ<q<1. Рассмотрим интервал (p,q) с центром в точке λ, т.е. (p,q)=O_ε(λ). Следовательно, по определению предела или . Но тогда

Т.е. члены ряда

(13) не превосходят членов ряда

(14)

Но ряд (14) сходится как геометрическая прогрессия с q<1. Тогда сходится и ряд (1) по признаку сравнения, а следовательно и ряд , т.к. к нему прибавлено конечное число слагаемых .

б) Пусть λ>1, . Поскольку то общий член не стремится к нулю при n→∞. Следовательно, ряд расходится по необходимому признаку. ■

Пример 6. Исследовать сходимость ряда .

Согласно теоремы, ряд расходится.

Замечание. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.

Теорема 8. (Признак Коши) (1789-1857) Если существует конечный предел

, (15)

то в случае знакоположительный ряд сходится, а при расходится.

□ а) Пусть . Тогда . Из определения предела следует, что, начиная с некоторого N, будет выполняться неравенство:

Таким образом, при Т.е. члены ряда не превосходят членов ряда . Но последний ряд сходится как геометрическая прогрессия при q<1, тогда по признаку сравнения сходится и ряд . Но тогда сходится и ряд , т.к. . Она образуется из сходимости ряда добавлением конечного числа .

б) Пусть , тогда

, т.е. .

Следовательно, не стремится к нулю и по необходимому признаку ряд расходится. ■

Пример 7. Исследовать сходимость ряда .

Замечание. При λ=1 ряд может сходиться, а может расходиться. Признак

В заключение, остановимся здесь на определении числа е, которое используется как основание для натуральных логарифмов . Это можно сделать двумя способами. Во-первых, рассмотрим ряд