Для точки получаем
,
.
Следовательно, точка локального минимума.
7.8. Контрольные вопросы
Дайте определения: а) упорядоченной совокупности п чисел; б) п-мерного координатного пространства; в) п-мерного евклидова пространства.
Дайте определения: а) п-мерного шара; б) открытого п-мерного шара; в) п-мерной сферы; г) п-мерного параллепипеда; д) -окрестности точки. Докажите, что во всяком п-мерном параллепипеде содержится некоторый п-мерный шар. Каков максимальный радиус такого шара?
Дайте определение внутренней точки множества. Может ли внутренняя точка множества не принадлежать этому множеству?
Дайте определение граничной точки множества. Может ли точка быть одновременно внутренней и граничной точкой какого-то множества? Может ли точка множества быть одновременно не внутренней и не граничной точкой этого множества?
Дайте определение открытого множества. Являются ли открытыми следующие множества:
а) п-мерный шар; б) п-мерная сфера; в) -окрестность точки?
Дайте определение закрытого множества. Может ли множество быть одновременно: а) открытым и замкнутым; б) не открытым и не замкнутым? Являются ли замкнутыми следующие множества: а) п-мерный шар; б) п-мерная сфера; в) -окрестность точки, г) п-мерный параллепипед?
Дайте определение предельной точки множества. Докажите, что любая внутренняя точка множества является предельной точкой этого множества. Может ли граничная точка множества: а) быть предельной точкой этого множества; б) не быть предельной точкой этого множества?
Дайте определения: а) ограниченного множества; б) непрерывной кривой; в) прямой в пространстве
.
Может ли непрерывная кривая быть
неограниченным множеством? Является
ли прямая замкнутым множеством?Дайте определение связного множества. Являются ли связанными следующие множества: а) п-мерный шар; б) п-мерная сфера; в) прямая в пространстве ?
Дайте определение окрестности точки. Докажите, что в любой окрестности точки А содержится некоторая -окрестность этой точки.
Какое множество точек называют: областью, замкнутой областью?
Сформулируйте определения: а) последовательности точек пространства
;
б) предела последовательности
.
Дайте геометрическую интерпретацию
определения предела последовательности
.Сформулируйте два определения предела функции
в точке
.
Что означает эквивалентность этих
операций?Для каждого из двух определений предела функции в точке сформулируйте отрицание определения.
Дайте определение бесконечно малой функции при
.Дайте определение повторного предела функций
в точке
.Известно, что функция имеет в данной точке предел и повторные пределы. Могут ли какие-то два из них быть равными?
Дайте определение непрерывности функции в точке.
Что такое полное приращение функции
в точке А?
Как записать условие непрерывности
функции в точке А,
используя ее приращение в этой точке?
Выразите приращение функции
в точке А
(1, 2)
через приращения
и
ее аргументов.Какие точки называются точками разрыва функций ? Приведите примеры точек разрыва функций двух и трех переменных.
Что называется частным приращением функции
в данной точке
?
Как получить частное приращение функции
из ее полного приращения? Напишите
частные приращения функции
в точке А
(1, 2).Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями.
Дайте определение непрерывной на данном множестве функции. Является ли функция
непрерывной на всей плоскости?
Дайте определение ограниченной на данном множестве функции.
Является ли функция
ограниченной:
а) в круге
;
б) на оси Ох?
Сформулируйте определение неограниченной на данном множестве функции.
Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.
Справедливо ли утверждение: непрерывная в -окрестности точки функция
ограничена в этой
-окрестности?Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса.
Справедливо ли утверждение: если функция достигает на множестве своих точных граней, то она непрерывна на этом множестве?
Справедливо ли утверждение: непрерывная в параллелепипеде функция имеет в этом параллелепипеде максимальное и минимальное значения?
Дайте определение равномерной непрерывности функции. Как связанны между собой непрерывность и равномерная непрерывность функции на данном множестве?
Пользуясь кванторами, сформулируйте отрицание равномерной непрерывности функции.
Верно ли утверждение: непрерывная в -окрестности точки А функция равномерно непрерывна в этой -окрестности?
Дайте определение частной производной функции по аргументу во внутренней точке области определения функции. Каков физический смысл частной производной?
Пользуясь определением частной производной, найдите и , если
.Почему для граничной точки определение частной производной может быть непригодным? Как определяются частные производные функции в граничных точках области определения функции?
Дайте определение дифференцируемости функции в данной точке. Докажите эквивалентность условий дифференцируемости
и
.
Докажите
дифференцируемость функции
в точке О(0,
0), представив ее приращение в этой точке
в виде
.
Докажите, что дифференцируемая в данной точке функция непрерывна в этой точке. Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.
Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии дифференцируемости.
Сформулируйте теорему о достаточном условии дифференцируемости.
Каков геометрический смысл дифференцируемости функции
в точке
?
Дайте определение касательной плоскости
к поверхности
в точке
и запишите уравнение касательной
плоскости в этой точке.Сформулируйте теорему дифференцируемости сложной функции и запишите формулу для вычисления частных производных сложной функции.
Что такое дифференциал функции в данной точке? От каких аргументов он зависит?
Дайте определение частной производной второго порядка функции по аргументам
в точке М.
В каком случае частная производная
второго порядка называется смешанной?Дайте определение частной производной п-го порядка функции по аргументам
.
В каком случае эта частная производная
называется смешанной?Известно, что функция имеет все частные производные п-го порядка в точке М. Что может сказать о существовании частных производных меньшего порядка этой функции в точке М и в окрестности точки М?
Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка функции . Пользуясь этой теоремой, обоснуйте равенство смешанных частных производных второго порядка функции
в любой точке
,
в которой
(не вычисляя самих производных).Дайте определение п-кратной дифференцируемости функции в данной точке. Докажите, что если функция дифференцируема п раз в точке , то эта функция и все ее частные производные до (п-1)-го порядка включительно дифференцируемы в точке .
Докажите, что если функция имеет в некоторой окрестности точки все частные производные п-го порядка и эти частные производные непрерывны в точке , то функция дифференцируема п раз в этой точке.
Сформулируйте вторую теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка функции .
Дайте определение дифференциала второго порядка функции (х и у – независимые переменные) в данной точке и, пользуясь этим определением, выведите формулу
.
Напишите операторную формулу для дифференциала второго порядка функции (х и у – независимые переменные).
Сформулируйте теорему о формуле Тейлора и запишите формулу Тейлора в двух видах.
Дайте определение локального экстремума функции.
Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии экстремума и следствие этой теоремы. Приведите пример функции , удовлетворяющей в некоторой точке условиям
,
,
но не имеющий в точке
локального экстремума.Какие точки называются точками возможного экстремума функции? Приведите пример функции , имеющей в некоторой точке локальный экстремум и такой, что , а в точке не существует.
Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции . Являются ли условия этой теоремы необходимыми условиями экстремума?
Сформулируйте достаточные условия локального максимума, локального минимума и отсутствия экстремума функции в точке .