7.5. Производная по направлению и градиент
П
усть
функция
определена на открытом множестве
и
.
Рассмотрим прямую
:
,
где
.
Здесь
– направляющий вектор прямой (рис. 7.1).
В координатном виде прямую можно записать
следующим образом
,
.
Здесь
вектор
единичный вектор, проходящий через
точку
.
Определение
18.
Производной
по направлению вектора
(прямой
)
в точке
называют предел по множеству
.
(18)
Если
,
то
совпадает с направлением оси
и производная по направлению
совпадает с частной производной
.
Запишем
(18)
подробнее. Так как
,
,
то
.
По теореме о дифференцировании сложной функции имеем
(19)
В
частном случае, в пространстве
,
формула (19) для функции
в точке
по направлению
,
формула имеет вид
.
(20)
Определение 19. Градиентом дифференцируемой в точке функции называется вектор
(21)
В пространстве формула (21) имеет вид :
,
или
На
плоскости
Oxy
:
С
помощью символического оператора
,
который называется оператором
Гамильтона,
градиент также обозначают
Используя понятие градиента можно в векторной форме записать формулу полного приращения функции в точке :
,
а также дифференциал функции
,
и производную функции по направлению
, (22)
где
– вектор приращений аргумента,
-вектор
бесконечно малых, а также дифференциал
функции
Свойства градиента:
1.
Если вектор градиент функции
тождественно равен нулю для любого
,
то функция
постоянна на множестве Х.
2.
Если
и
– дифференцируемые функции в
,
то справедливы следующие соотношения
а)
б)
в)
,
где
дифференцируемая функция одной переменной
.
Справедливость этих свойств следует из определения 35.
3.
Производная функции
по направлению вектора
(рис. 7.2) принимает наибольшее значение
в направлении
и равна модулю
,
т.е.
.
Из (22) следует
.
Так
как
,
то
.
Таким
образом,
есть вектор, указывающий направление
наибольшего возрастания функции в
данной точке и имеющий модуль, равный
скорости этого возрастания.
4.
Пусть
дифференцируемая функция, а
(
)
параметрические уравнения некоторой
гладкой кривой Г,
удовлетворяющие условию
. (23)
Такая кривая называется линией уровня функции .
Вектор
(рис 7.3) является касательным вектором
к кривой Г,
а
– радиусом-вектором точки М
.
П
родифференцируем
(23) по t
как сложную функцию:
,
.
Обозначим
через
.
Тогда векторном виде будем иметь
,
т.е.
скалярное произведение двух векторов
рано нулю. Это означает, что в каждой
точке линии уровня векторы
и
ортогональны, или вектор градиент в
каждой точке ортогонален линии уровня.
Примеры.
17.
Найти наибольшее значение
в точке
,
если
.
Решение. Найдем в точке М:
;
.
Тогда
■
18.
Найти производную функции
в точке
по направлению внешней нормали к
окружности
в точке
.
Решение.
Производная
по направлению вычисляется, как скалярное
произведение
и вектора направления
(внешняя нормаль).
Вычислим в точке М:
,
.
Вычислим
вектор
в точке М.
Для этого в уравнении окружности
определим зависимость х
и у
от параметра
:
,
.
Так как точка М
принадлежит окружности, получаем
и
.
Отсюда
.
.
Координаты вектора нормали находятся из соотношения
.
Отсюда
получаем,
,
.
Нормируем вектор
:
,
.
Производная по направлению нормали к окружности в точке М равна
.
■