Формулу Тейлора также можно записать в виде

. (30)

 Доказательство проведем для функции двух переменных или .

Сначала рассмотрим функцию одной переменной . Пусть раз дифференцируема в окрестности точки .Формула Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в формуле Лагранжа имеет

(31)

Так как – независимая переменная, то . По определению дифференциала функции одной переменной

,

.

Если обозначить , то (31) можно записать в виде

(32)

Рассмотрим некоторую -окрестность точки и в ней произвольную точку и соединим точки и отрезком прямой линии . Ясно, что координаты и точек этой прямой есть линейные функции параметра .

.

На отрезке прямой функция является сложной функцией параметра , т.к. . При этом она раз дифференцируема по на и для справедлива формула Тейлора (32), где , т.е.

.

Дифференциалы в формуле (32) представляют собой дифференциалы сложной функции , где , , .

(33)

Подставляя (33) в (32) и учитывая, что , получаем

(34)

Последнее слагаемое в (34) называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа

.

Без доказательства отметим, что если в условиях теоремы функция дифференцируема в точке m раз, то остаточный член можно записать в форме Пеано:

,

где . 

7.7. Локальный экстремум функции нескольких переменных

Пусть определена на , и .

Определение 40. Внутренняя точка называется точкой строгого локального максимума функции , если существует такая окрестность точки , что и , выполняется неравенство .

Если , то точка нестрогого локального максимума.

Если , то точка строгого локального минимума.

Если , то точка нестрогого локального минимума.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума функции .

Теорема 12. (Необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный (нестрогий) экстремум, то выполняются

и . (35)

 Так как по определению имеем

, ,

то нужно доказать, что для выполняются равенства . Рассмотрим функцию , у которой все переменные зафиксированы, кроме , а – направляющий вектор оси . Тогда, так как в точке имеет экстремум, то в точке тоже имеет экстремум, как функции одной переменной. Отсюда согласно теореме Ферма . Таким образом, из определения частной производной получаем:

, 

Замечание. Условия (35) является необходимыми, но не достаточными.

П ример 21.Функция дифференцируемая в точке :

, ,

, ,

но экстремума в точке нет (рис. 7.4), так как в любой окрестности точки (0, 0) принимает как положительное, так и отрицательное значения.

Определение 41. Точка называется стационарной точкой функции , если выполняется условие (35).

Стационарная точка называется регулярной, если в этой точке существует второй дифференциал , (т.е существуют все частные производные второго порядка) и он является невырожденной квадратичной формой переменных .

Так как матрица квадратичной формы есть матрица Гессе , то невырожденность квадратичной формы означает, что определитель матрицы Гессе, который называется гессиан, не равен нулю.

Теорема 13. (Достаточное условие экстремума). Пусть функция дважды дифференцируемой в окрестности точки , где – стационарная точка, а второй дифференциал в точке есть невырожденная квадратичная форма переменных . Тогда:

если – положительная определенная квадратичная форма, то точка локального минимума;

если – отрицательная квадратичная форма, то – точка максимума;

если – знакопеременная квадратичная форма, то не является точкой экстремума.

 Так как – стационарная точка, то по теореме 7.25 следует

и .

Запишем формулу Тейлора для случая m=2 с остаточным членом в форме Пеано

,

где , , .

Тогда формулу Тейлора можно переписать в виде

. (36)

Рассмотрим единичный вектор сонаправленный с вектором, соединяющим и : , . Обозначим , где при . Тогда

или

. (37)

Пусть второй дифференциал есть положительно определенная квадратичная форма. Квадратичная форма задана на единичной сфере , которая есть ограниченное замкнутое множество. По теореме Вейерштрасса достигает на ней своего наименьшего значения, т.е. достигает нижней грани: и .

Ясно, что для произвольного значения . Тогда из положительно определенности квадратичной формы и условия , следует, что . Тогда

, .

Так как , то существует , что в можно сделать не более любого наперед заданного числа, например , т.е.

, .

Из полученного соотношения и формулы (37) следует, что

, т.к.

а откуда , тогда – точка минимума.

Если второй дифференциал функции есть отрицательно определенная квадратичная форма, то второй дифференциал функции в стационарной точке будет положительно определенной квадратичной формой. Тогда – точка локального максимума функции .

Пусть – знакопеременная квадратичная форма. Тогда существуют такие единичные векторы и , что

,

.

По формуле (37) имеем

,

,

где при . Так как , то можно выбрать их сколь угодно малыми, так что слагаемые в скобках будут иметь фиксированные знаки. Тогда существует -окрестность точки такая, что для выполняются неравенства

т.е. в любой сколько угодно малой окрестности точки не выполняется определение экстремума.

Следствие. Пусть дважды дифференцируемая функция в окрестности стационарной точки , тогда справедливо:

1. Если , то – точка минимума функции .

2. Если , то – точка максимума функции .

3. Если , то в точке экстремума нет.

Справедливость следствия следует из критерия Сильвестра для знакоопределенности квадратичных форм и теоремы 7.26.

Пример 22. Для функции найти точки экстремума или показать, что их нет.

Решение. Определим стационарные точки:

,

.

Решая систему, получаем две точки и . Найдем матрицу Гессе:

.

Используя следствие, для точки получаем

,

.

Следовательно, в точке экстремума нет.