48

Глава 7. Функции нескольких переменных

7.1. Пространство Rn. Множества в линейном пространстве.

Множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы из n действительных чисел , обозначается и называется n-мерным арифметическим пространством, а число n называется размерностью пространства. Элемент множества называется точкой пространства, или вектором, а числа координатами этой точки. Точка =(0, 0, …0) называется нулевой или началом координат.

Пространство – есть множество действительных чисел, т.е. – числовая прямая. и – есть координатная плоскость и трехмерное координатное геометрическое пространство соответственно. Векторы , , …, называются единичным базисом.

Для элементов , множества введем понятие суммы элементов и произведения элемента на действительное число:

(1)

Непосредственно можно проверить выполнение следующих свойств , :

1. ;

2. ;

3. ) : : ;

4. ;

5. 

6. .

Поэтому пространство называется линейным (векторным) пространством.

В линейном пространстве определим скалярное произведение элементов и как действительное число, вычисляемое по следующему правилу:

, (2)

Число называется длиной вектора или нормой . Векторы и называются ортогональными, если .

Число , )= │ - │ = называется расстоянием между элементами и .

Если и ненулевые векторы, то углом между ними называется угол , такой, что

. (3)

Легко убедиться, что для любых элементов и действительного числа , выполняются соотношения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , при .

Линейное пространство с определенным в нем по формуле (2) скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пусть точка и . Множество всех точек для которых

, (4)

называется n-мерным кубом с ребром и с центром в точке . Например, двумерный куб – квадрат со стороной с центром в точке .

Множество точек , удовлетворяющие неравенству называются n-мерным шаром радиуса с центром в точке , который также называют -окрестностью точки в и обозначают .

Таким образом, одномерный шар есть интервал длиной . Двумерный шар есть круг, для которого верно или (x₁-x₁⁰)²+(x₂-x₂⁰)^2<δ².

Множество называется ограниченным, если существует n-мерный шар, содержащий это множество.

Определение 1. Функция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая значения, принадлежащие , называется последовательностью в и обозначается .

Определение 2. Точка называется пределом последовательности , если для произвольного положительного числа существует натуральное число , такое что для любого числа выполняется неравенство .

Символически это определение записывается так:

.

Обозначение:

.

Из определения 2 следует, что , при . Такая последовательность называется сходящейся к .

Если последовательность не является сходящейся ни к одной точке, то она называется расходящейся.

Определение 3. Пусть возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Теорема 1. Для того чтобы последовательность сходилась к точке необходимо и достаточно, чтобы для любого номера выполнялось , т.е. последовательность i-х координат точек сходилась к i-й координате точки .

ک Доказательство следует из неравенств

. 

Последовательность называется ограниченной, если найдется такое положительное число , что для любого натурального числа , что выполняется неравенство , т.е. , т.е. множество её значений ограничено.

Как и для числовых последовательностей справедливы следующие утверждения.

•Сходящаяся последовательность точек ограничена и имеет единственный предел.

•Если последовательность сходится, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же предел.

•Из ограниченной последовательности точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение 4. Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного числа можно подобрать такое число , что для произвольных натуральных чисел и , больших , выполняется , т.е. : .

Теорема 2. (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

ک Необходимость. Пусть сходится к точке . Тогда получаем последовательность сходящуюся к .

В силу критерия Коши для действительных чисел каждая из этих числовых последовательностей фундаментальная. Отсюда для любого произвольного положительного числа найдется такое, что для произвольных положительных и , больших , выполнится .

Обозначим . Тогда при имеет место неравенство

.

Это означает, что последовательность фундаментальная.

Достаточность. Пусть – фундаментальная последовательность. Тогда из неравенств следует, что каждая из числовых последовательностей фундаментальна. В силу критерия Коши для действительных чисел каждая из этих последовательностей сходится: . Следовательно, по теореме 1 последовательность сходится. 

В пространстве существуют различные типы точек и множеств.

•Точка множества называется внутренней точкой этого множества, если существует -окрестность содержащаяся в X: .

•Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой, называется открытым множеством в .

Понятно, что пространство является открытым множеством.

•Точка называется точкой прикосновения множества X, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку множества Х.

•Точка называется изолированной точкой множества Х, если существует окрестность этой точки, не содержащая других точек множества Х, отличных от .

•Точка называется предельной точкой множества Х, если в любой её окрестности содержится хотя бы одна точка множества, отличная от .

•Точка называется граничной точкой множества Х, если любая ее окрестность содержит точку, принадлежащую множеству Х, и точку, не принадлежащую множеству Х. Множество всех граничных точек множества Х называют границей Х и обозначают .

Пример 1. Для множества определить внутренние, предельные, изолированные и граничные точки, а также точки прикосновения.

Решение. Внутренние точки – все точки интервала (0, 1). Точки прикосновения – все точки отрезка и точка . Изолированная точка одна . Предельные точки – все точки отрезка . Граничные точки .

•Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновения называют замыканием множества Х и обозначают .

•Если и , то число называют расстоянием между множествами X и Y. Диаметром множества Х называют число .

•Непрерывной кривой Г в называют множество точек , координаты которых есть непрерывные функции параметра , заданные на отрезке , т.е. , , …, , где . Число называют параметром, а сами уравнения параметрическими уравнениями кривой.

Система уравнений , , …, при и называют прямой в . Если , то – отрезком прямой.

•Множество называют линейно-связанным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству. Линейно-связанное открытое множество Х называют областью в . Если Х – область, то ее замыкание называют замкнутой областью.

Множества X и Y называют отделимыми, если ни одно из них не содержит точек прикосновения другого.

•Множество Х называют связанным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделимых множеств.

•Множество Х называют выпуклым, если любые его две точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим этому множеству.

Пример 2. Опираясь на сформулированные выше определения, можно утверждать, что

– связанное, линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, является областью.

– связанное, линейно-связанное, неоткрытое, невыпуклое множество, не является областью.

– несвязанное, не линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, не является областью.

– несвязанное, не линейно-связанное, открытое множество, не является областью.

– связанное, линейно-связанное, открытое множество, является областью.