36

Лабораторная работа №6…….1

Лабораторная работа №7……7

Лабораторная работа №8…..14

Лабораторная работа №9……22

Лабораторная работа №6

Численное дифференцирование

Цель работы: научится делать численное дифференцирование и аппроксимацию производных.

Численное дифференцирование — совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции.

В основе численного дифференцирования лежит аппроксимация функции, от которой берется производная, интерполяционным многочленом. Все основные формулы численного дифференцирования могут быть получены при помощи первого интерполяционного многочлена Ньютона (формулы Ньютона для начала таблицы).

О

(6.1)

сновными задачами являются вычисление производной на краях таблицы и в ее середине. Для равномерной сетки формулы численного дифференцирования «в начале таблицы» можно представить в общем виде следующим образом:

где - погрешность формулы. Здесь коэффициенты зависят от степени n использовавшегося интерполяционного многочлена, то есть от необходимой точности (скорости сходимости к точному значению при уменьшении шага сетки) формулы. Коэффициенты представлены в таблице:

n	a0	a1	a2	a3	a4	a5	b
1	-1	1	0	0	0	0	1
2	-3	4	-1	0	0	0	2
3	-11	18	-9	2	0	0	6
4	-25	48	-36	16	-3	0	12
5	-137	300	-300	200	-75	12	60

Аппроксимация производных

Производной функции называется предел отношения приращения функции к прирашению аргумента пристремлении к нул

(6.2)

ю:

Обычно для вычисления производных используют готовые формулы (таблицу производных) и к выражению (3.1) не прибегают. Однако в численных расчетах на компьютере использование этих формул не всегда удобно и возможно. В частности, функция может быть задана в виде таблицы значений (полученных, например, в результате численного расчета). В таких случаях производную можно найти, опираясь на формулу (3.1). Значение шага полагают равным некоторому конечному числу, и для вычесления значения производной получают приближенное равенство

(6.3)

Это соотношение называется аппроксимацией производной с помощью отношения конечных разностей.

Рассмотрим аппроксимацию производной для функции заданной в табличном виде: в узлах Пусть шаг – разность между соседними значениями аргумента – постоянный и равен . Запишем выражения для производной в узле который слева отмечен крестиком. Используемые при этом узлы (шаблон) отмечены кружочками. В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаем разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке:

(6.4)

Ο×

с

(6.5)

помощью левых разностей;

Ο×

с

(6.6)

помощью правых разностей;

Ο×Ο

с помощью центральных разностей.

Можно найти также выражения для старших производных. Например,

Ο

(6.7)

×Ο

Таким образом, используя формулу (6.3), можно найти приближенные значения производных любого порядка. Для хорошей аппроксимации производной нужно использовать значения функции во многих узлах, а в формуле (6.3)это не предусмотрено.

Погрешности численного дифференцирования

А

(6.8)

ппроксимируем функцию некоторые функции , тобто представим ее в виде

В качестве аппроксимирующей функции можно принять частичную сумму ряда или интерполяционную функцию. Тогда погрешность аппроксимации определяетя остаточным членом ряда или интерполяционной формулы.

(6.9)

Аппроксимирующая функция может быть использована также для приближенного вычисления производной функции . Дифференцируя равенство (6.8)необходимое число раз, можно найти значения производных

(6.10)

В качестве приближенного значения производной порядка функции можно принять значение соответсвующей производной функции , тобто . Величина

характеризующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, называется погрешностью аппроксимации производной.

При численном дифференцировании функции, заданной в виде таблицы с шагом , эта погрешность зависит от , и ее записывают в виде (Oбольшое от h^r). Показатель степени называется порядком погрешности аппроксимации производной (или порядком точности данной аппроксимации). При этом предполагается, что значение шага по модулю меньше единицы.

О

(6.11)

ценку погрешности легко проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора

Пусть функция задана в виде таблицы Запишем ряд Тейлора при , с точностью до членов порядка :

(6.12)

Отсюда найдем значение производной в точке :

(6.13)

Это выражение совпадает с формулой (6.4), которая, как видно, является аппроксимацией первого порядка (r=1). Аналогично, записывая ряд Тейлора при , можно получить аппроксимацию (6.5). Она также имеет первый порядок.

Используем теперь ряд Тейлора для оценки погрешностей аппроксимаций (6.6) и (6.7). Полагая и соответсвенно, получаем

(6.14)

(6.15)

Вычитая эти равенства одно из другого, после очевидных преобразований получаем

Это аппроксимация производной (6.6) с помощью центральных разностей. Она имеет второй порядок.

(6.16)

Складывая равенства (6.14), находим оценку погрешности аппроксимации производной второго порядка вида (6.7):

Таким образом, эта аппроксимация имеет второй порядок. Аналогично можно получить аппроксимации производных более высоких порядков и оценку их погрешностей.

Мы рассмотрели лишь один из источников погрешности численного дифференцирования – погрешность аппроксимации (ее также называют погрешностью усечения). Она определяется величиной остаточного члена.

Погрешность аппроксимации при уменьшении шага , как правило, уменьшается.

Погрешности, возникающие при численном дифференцировании, определяются также неточными значениями функции в узлах и погрешностями округлений при проведении расчетов на компьютере. Обусловленные этими причинами погрешности, в отличие от погрешности аппроксимации, возрастают с уменьшением шага . Действительно, если при вычеслении значений функции абсолютная погрешность составляет , то при вычислении дробей в (6.4) и (6.5) она составит . Поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результатов.

Потеря точности аппроксимации производных может быть предотвращена за счет регуляризации процедуры численного дифференцирования. Простейшим способом регуляризации является такой выбор шага , при котором справедливо неравенство , где – некоторое малое число. При вычислении производной это исключает вычитание очень близких по величине чисел, которое обычно приводит к увеличению погрешности. Это тем более опасно при последующем делении приращения функции на малое число . Другой способ регуляризации заключается в оценке суммарной погрешности численного дифференцирования и выборе такого шага , который минимизировал бы эту суммарную погрешность. Возможен и еще один подход – сглаживание табличных значений функции подбором некоторой гладкой аппроксимирующей функции, например, многочлена.

Контрольные вопросы:

1. Что такое численное дифференцирование?

2. Что называется аппроксимацией производной?

3. Расскажите о погрешностях численного дифференцирования.