5.2 Коротка характеристика методів рішення з.Ц.П.

Якщо при розв’язанні З.Ц.П. використовувати методику округлення оптимального плану у відповідній З.Л.П., то ми можемо одержати план або незадовольняючу систему обмежень (5.2), або, що птрапляє усередину області обмежень.

Висновок: прямо використовувати симплексний метод при розв’язанні З.Ц.П. не можна.

Є три способи розв’язання З.Ц.П.:

1. методи відсікання;

2. комбінаторні методи;

3. наближені методи.

Сутність методу відсікання: спочатку З.Ц.П. зважується симплексом-методом без урахування умов цілочисловості. Якщо оптимальний план відповідної З.Л.П. цілочисловий, то задача розв’язана; у протилежному випадку до обмежень З.Ц.П. додається нове обмеження, що володіє наступними властивостями:

1. воно повинне бути лінійним;

2. воно повинне відтинати знайдений оптимальний нецілочисловий план З.Л.П.;

3. воно не повиннео відтинати жодного цілочисловий плану.

Додаткове обмеження, що володіє зазначеними раніше трьома властивостями, називається правильним відсіканням.

Потім задача зважується з урахуванням нового обмеження, що вноситься додатковим рядком в останню симплекс-таблицю з оптимальним планом З.Л.П. У випадку потреби додаємо ще одне обмеження і розв’язуємо З.Л.П. симплексом-методом доти, поки не одержимо цілочислове розв’язання.

Таким методом,заснованому на правильному відсіканні,є метод Гомори.

5.3 Геометрична ілюстрація методу Гомори

Задано задачу цілочислового програмування

max f=x₁+2x₂,

x₁- x₂ 0,

x₁+ x₂ 3,

x₁, x₂ 0, мети.

Розв’яжемо задачу геометрично. Для цього побудуємо область припустимих розв’язань Q, що знаходиться в I чверті й обмежена прямими l₁ і l₂.

Q це трикутник ОАВ. Тому що вектор нормалі , те де точка А(1,5; 1,5), тобто оптимальне розв’язання З.Л.П.

Це розв’язання не цілочислове, воно не є розв’язанням З.Ц.П. Якщо ввести в обмеження задачі ще одну нерівність , на рис.1 вона задається граничною прямою l₃, то одержимо область припустимих розв’язань, чотирикутник ОСDB, причому , де точка D(2;1), тобто це оптимальне розв’язання З.Ц.П.

5.4 Аналітичне подання методу Гомори

Гомори запропонував простий спосіб правильного відсікання. Припустимо, що в результаті застосування симплекс-методу при розв’язанні З.Л.П.вийшов оптимальний план x^o=(в₁₀; в₂₀; . . . в_mo; 0; _, 0),де в_ko – не ціле.

Можна довести, що

(5.3)

воно має всі властивості правильного перетинання, де дробова частина числа, ,а -ціла частина числа. Наприклад,

- ціла частина числа це найближче ціле число ліворуч від нього.

Дробова частина завжди позитивна.

Для розв’язання З.Ц.П.використовуємо наступний алгоритм:

П1.Розв’язуємо симплекс- методом З.Л.П..

Якщо всі компоненти оптимального плану цілі, то це розв’язання З.Ц.П. Якщо З.Л.П. не має розв’язання, то і З.Ц.П. не має розв’язання.

Якщо є нецілі компоненти оптимального плану З.Л.П.,то переходимо до пункту 2.

П2. Серед нецілих компонентів оптимального плану виберемо компонент з найбільшою дробовою частиною і за відповідною рядку симплекс- таблиці, щомістить нецілочисловий оптимальний компонент,формуємо правильне відсікання.

П3.Нерівність (5.3) уведенням ненегативної целочисленной перемінної перетворюємо в еквівалентне рівняння і включаємо до симплекс- таблиці з нецілочисловим оптимальним планом.

П4.Отриману З.Л.П. з доданим рядком розв’язуємо симплексом-методом. Якщо одержимо оптимальний план цілочисловий, то З.Ц.П. розв’язана, якщо ні, то переходимо знову до пункту 2.

Якщо З.Ц.П. має розв’язання, то після кінцевого числа кроків оптимальний цілочисловий план буде знайдений. Якщо ж у процесі розв’язання з'явиться рядок з нецілим вільним числом в_k і цілими іншими коефіцієнтами в рядку, то відповідне рівняння не має розв’язання в цілих числах, тобто З.Ц.П. не має розв’язання.

Покажемо застосування методу Гомори на прикладі.

Приклад 5.1

Розв’язання.

Приведемо З.Л.П. до канонічного вигляду, помноживши перше рівняння на –1.

Тому що в рівняннях обмежень відсутні базисні змінні, то введемо штучні базисні змінні , і розв’яжемо М-задачу.

		с	2	-1	-5	-3	М	М
хб	сб	xi	x1	x2	х3	х4	x5	х6	Q
х5	М	7	-1	2	3	1	1	0	7/3
x6	М	6	2	1	-1	3	0	1	6/3
без М		0	-2	1	5	3	0	0
с М		13	1	3	2	4	0	0	j
х5	М	5	-5/3	5/3	10/3	0	1	-1/3	1,5
х4	-3	2	2/3	1/3	-1/3	1	0	1/3
без М		-6	-4	0	6	0	0	-1
с М		5	-5/3	5/3	10/3	0	0	-4/3
x3	-5	1,5	-0,5	0,5	1	0	0,3	-0,1
х4	-3	2,5	0,5	0,5	0	1	0,1	0,3
без М	f	-15	-1	-3	0	0	-1,8	-0,4	j
с М		0	0	0	0	0	-1	-1

Тому що , то отриманий план З.Л.П: не цілочисловий. Застосуємо метод Гомори і знайдемо розв’язання З.Ц.П.

Складемо правильне відсікання

Тому що , те для побудови відсікання можна взяти будь-як рядок, наприклад, другий.

Одержимо

Додамо це обмеження новим рядком у симплекс-таблицю.

			2	-1	-5	-3	0
х5	с5	xi	x1	x2	X3	X4	X5	0
x3	-5	1,5	-0,5	0,5	1	0	0
х4	-3	2,5	0,5	0,5	0	1	0	0,5
х5	0	-0,5	-0,5	-0,5	0	0	1	1
f	=	-1,5	-1	-3	0	0	0
x3	-5	2	0	2	1	0	-1
х4	-3	2	0	0	0	1	1
x1	2	1	1	1	0	0	-2
f	=	-14	0	-2	0	0	-2	j

Тому що j , то отриманий план: , оптимальний, цілочисловий,

Зауваження. Якщо розв’язуєть З.Ц.П. на максимум функціі мети f, тоді штучні базисні перемінні додаються в функцію цілі з коефіцієнтами – М.