3.5 Типове розв’язання т.З.

Є три постачальники і чотири споживачі однорідного продукту. Потужності постачальників і попити споживачів, а також витрати на перевезення одиниці вантажу для кожної пари «постачальник-споживач» зведені в таблицю 3 постачань.

Таблиця 3

		Споживачі				Потужність постачальників ai
		B1	B2	B3	B4
Постачальники	A1	1	2	5	3	60
	A2	1	6	5	2	120
	A3	6	3	7	4	100
Попит bj		20	110	40	110	280

Задача у наступному: знайти об'єми перевезень для кожної пари «постачальник-споживач» так, щоб:

1. потужності всіх постачальників були реалізовані;

2. попити всіх споживачів були задоволені;

3. сумарні витрати на перевезення були мінімальні.

Поставлено збалансовану транспортну задачу, оскільки сумарний попит дорівнює сумарній потужності постачальників  280.

Для отримання начального опорного плану перевезень скористаємось методом мінімального елемента.

Для покращення будемо використовувати таблицю, в правому верхньому кутку якої стоїть тариф відповідного перевезення, а в лівому нижньому кутку – плановий об`єм перевезення.

	1		2		3		4		ai
1		1		2		5		3	60
2		1		6		5		2	120 100
	20
3		6		3		7		4	100
bj	20		110		40		110		280

Знаходимо в таблиці клітинки з найменшим тарифом. Таких клітин дві- (1;1) і (2;1) із тарифом, що дорівнює 1. Порівнюємо максимально можливі постачання для цих клітинок: для клітинки (1;1) x₁₁=min{60,20}=20, для клітинки (2;1) x₂₁=min{120,20}=20. Оскільки їх значення збігаються, то максимально можливе постачання записуємо в будь-яку з них. Наприклад, записуємо постачання, що дорівнює 20 од. у клітинку (2;1). У результаті попит першого споживача задоволений і перший стовпець таблиці постачань випадає з наступного розгляду, а виробничу потужність для другого рядка зменшуємо на 20 од. Аналогічним способом продовжуємо заповнювати невикреслені клітинки таблиці. У останній клітинці попит і пропозиція повинні збігтися, оскільки розглядається збалансована задача. Слід зазначити, що в таблиці повинна бути заповнена n+m-1 клітинка перевезень

( де n - число постачальників, m- число споживачів ).

Наприклад, для розглянутої задачі повинно бути заповнено 3+4-1=6 клітин. Остаточно одержуємо початковий опорний план перевезень.

Тепер скористаємося методом потенціалів. Для цього кожному стовпцю припишемо потенціал v_j , а кожному рядку - потенціал u_i. Для кожної заповненої клітини складемо лінійне рівняння за правилом u_i+v_j=c_ij, де c_ij - тариф відповідного перевезення. Потім розв’яжемо систему 6-ти рівнянь.

		1		2		3		4		ai
		V1		V2		V3		V4
1	U1		1		2		5		3	60
				60
2	U2		1		6		5		2	120
		20						100
3	U3		6		3		7		4	100
				50		40		10
bj		20		110		40		110

Оскільки в рівняннях буде 7 невідомих (3 потенціали u і 4 потенціали v), то довільний потенціал можна дорівняти до нуля.

Тепер для кожної незаповненої клітинки необхідно знайти оцінку _ij= u_i+v_j-c_ij. Якщо всі оцінки будуть негативними або нульовими, то початковий опорний план є оптимальним.

₁₁=-1+3-1=2; ₁₃=-1+7-5=1; ₁₄=-1+4-3=0; ₂₂=-2+3-6=-5; ₂₃=-2+7-5=0; ₃₁=0+3-6= -3. Оцінки ₁₁ і ₁₃ позитивні, отже, отримане початкове опорне розв’язання не оптимальне. З оцінок вибираємо найбільшу - ₁₁, отже, у клітинку (1;1) будемо заносити ненульове перевезення. Заносимо в клітинку (1;1) знак «+» і будуємо ланцюг потенціалів, що може проходити тільки по заповнених клітинках, із чергуванням знаків «+» і «-» і повертається у вихідну незаповнену клітину.

		1		2		3		4		ai
		V1		V2		V3		V4
1	U1		1		2		5		3	60
		+		- 60
2	U2		1		6		5		2	120
		- 20						+ 100
3	U3		6		3		7		4	100
				+ 50		40		- 10
bj		20		110		40		110

C

Перевіряємо отриманий опорний план на оптимальність.

₁₃=1; ₁₄=-1; ₂₂= -4; ₂₃=1;

₃₁= -4; ₃₄= -1

еред клітинок, позначених мінусом, вибираємо ту, що містить найменше перевезення. У подальших обчисленнях ця клітинка буде вважатися незаповненою. Далі вміст вибраної клітинки додаємо до вмісту клітинок, що позначені «+», і віднімаємо з клітинок, що позначені «-».У таблиці повинна виявитися, як і раніше, n+m-1 заповнена клітинка.

		1		2		3		4		ai
		V1		V2		V3		V4
1	U1		1		2		5		3	60
		10		- 50		+
2	U2		1		6		5		2	120
		10						110
3	U3		6		3		7		4	100
				+ 60		- 40
bj		20		110		40		110

О

Перевіряємо отриманий опорний план на оптимальність.

₁₄= -1; ₂₂= -4; ₂₃= 0; ₃₁= -4;

₃₃= -1; ₃₄= -1

скільки дві позитивні оцінки набувають однакових позитивних значень, то можна занести ненульове перевезення або в клітинку (1;3), або в клітинку (2;3).

		1		2		3		4		ai
		V1		V2		V3		V4
1	U1		1		2		5		3	60
		10		10		40
2	U2		1		6		5		2	120
		10						110
3	U3		6		3		7		4	100
				100
bj		20		110		40		110

Оскільки серед оцінок немає позитивних, можна сказати, що отриманий опорний план є оптимальним, але не єдиним (₂₃= 0).

У підсумку підприємствам можна запропонувати наступний план перевезень:

П ри такому розподілі перевезень потужності всіх постачальників будуть реалізовані, попит усіх споживачів задоволений, сумарні витрати складуть:

ден. ед.