3.2 Опорні плани транспортних задач
У транспортній задачі число змінних хij m х n, число обмежень m+n
- задача
закритого типу.
У силу закритості задачі серед m+n обмежень одне буде виражатися через всі інші,тому що
.
Тому лінійно незалежних обмежень буде m+n-1.
Це
означає, що базисних векторів буде
m+n-1.
Тоді
хij>0
не
може бути більше ніж m+n-1.
Опорним
планом транспортної задачі називається
план задачі
,
в
якому ненегативним змінним хij
відповідають лінійно незалежні вектори
Aij,
що є стовпцями матриці обмежень Т.З.
Якщо в опорному плані транспортної задачі число хij>0 дорівнює m+n-1, то опорний план не выроджений. Якщо число хij>0 менше m+n-1,то опорний план выроджений.
Усі обчислення при розв’язанны транспортної задачі роблять в таблицях. Хоча транспортна задача – задача лінійного програмування, для ії розв’язання застосовуються свої спеціальні методи.
Розглянемо ці методи на прикладі. Дані Т.З. та ії план наведені в таблиці 1.
Таблиця 1.
-
Аi\ Bj
B1
B2
B3
B4
aj
А1
20 2
0 4
0 3
0 1
20
А2
0 2
15 2
15 7
Х 6
30
А3
0 3
Х 4
15 2
15 3
30
bj
20
15
30
15
80
=80- задача закритого типу чи збалансована.
У правому верхньому кутку кожної клітини стоять тарифи перевезень cij (вартість) одиниці вантажу з пункту Ai до пункту Bj , від виробника до споживача.
Посередины клітини ставиться кількість перевезеного товару. Клітин вважається заповненой, якщо в ней стоїть кількість перевезеного товару xij>0, не заповненою – якщо товар не перевозиться з пункту Ai до пункту Bj.
Заповнені клітини складають ланцюг, якщо в кожному рядку ланцюга й у кожному стовпці ланцюга знаходяться тільки дві заповнені клітини, не обов'язково сусідні, причому початкова клітини й остання клітина ланцюга співпадають. Зв'яжемо поняття опорного плану з поняттям ланцюга.
План буде опорним, якщо із заповнених клітин не можна скласти ланцюг, неопорним у противному випадку. Аналізуємо план, наведений у прикладі:
х11=20, х22=15, х23=15, х32=15, х33=15,усі останні хij=0.
Обчислимо сумарну вартість при такому плані перевезень:
(ден.ед.)
Цей план опорний, тому що із заповнених клітинок не можна скласти ланцюг. Він вирождений,тому що кількість заповнених клітинок 5 менше m+n-1= 3+4-1=6.
Щоб одержати з цього опорного плану невироджений план,необхідно одну незаповнену клітин зайняти нулем. Причому вона не повина скласти ланцюг с заповненими клітинами. Такою клітиною може бути в таблиці кожна клітина, яка зайнята нулем. Хрестиком позначені клітинки, які не можна займати.