М іністерство освіти і науки України

Кременчуцький державний політехнічний університет

Навчальний посібник

по дисципліні “Математичне програмування” на теми

“Транспортна задача”, “Задача про призначення”, “Цілочислове програмування”

для студентів денної та заочної форм навчання зі всіх спеціальностей

факультетів економічного та управління.

(частина II)

Кременчук 2005

Навчальний посібник по дисципліні “Математичне програмування” на теми “Транспортна задача”, “Задача про призначення”, “Цілочислове програмування” для студентів денної та заочної форм навчання зі всіх спеціальностей факультетів економічного та управління

(частина II)

Укладач доц. Віктор Єгорович Черниченко

Кафедра економіки

Затверджено методичною радою університету

Протокол №____ від___________________2005 р.

Голова методичної ради проф. В.В. Костін

ЗМІСТ

1 Вступ……………… .......................... . .……………………… ........................4

2 Вибір варіанта завдання.....................................................................................4

3 Транспортна задача (Т.З.)..................................................................................4

3.1 Постановка задачі(Т.З.) та ії математична модель.......................................4

3.2 Опорні плани транспортних задач.................................................................7

3.3 Методи визначення початкових опорних планів..........................................9

3.4 Метод потенціалу.............................................................................................10

3.5 Типове розв’язання Т.З....................................................................................11

3.6 Питання з теми.................................................................................................16

3.7 Завдання для контрольних і самостійних робіт...........................................16

4 Задача вибору або задача про призначення......................................................20

4.1 Постановка задачі про призначення та ії математична модель..................20

4.2 Основні теореми для розв’язання задачі про призначення..........................21

4.3 Алгоритм розв’язання і розв’язання задачі про призначення......................21

4.4 Питання з теми.................................................................................................24

4.5 Завдання для контрольних і самостійних робіт...........................................24

5 Цілочислові програмування................................................................................27

5.1 Постановка задачі цілочислового програмування(З.Ц.П.)............................27

5.2 Коротка характеристика методів розв’язання З.Ц.П......................................28

5.3 Геометрична ілюстрація методу Гомори.........................................................28

5.4 Аналітичне подання методу Гомори ..............................................................29

5.5 Запитання з теми...............................................................................................32

5.6 Завдання для контрольної та самостійної робіт.............................................33

6 Список літератури ..……………………………………...................................36

1 Вступ

Даний навчально-методичний посібник рекомендується для студентів денної та заочної форм навчання зі всіх спеціальностей факультетів економічного та управління при виконанні контрольной або семестрової робіт з дисципліни “Математичне програмування”. Передбачається, що студенти вивчили дисципліну “Вища математика”. У методичному посібнику наведено перелік завдань контрольной або семестрової робіт з тем “Транспортна задача”, “Задача про призначення”, “Цілочислове програмування”. Перед кожним завданням подано теоретичний матеріал, необхідний для розв’язання поставленої задачі, розв’язане типове завдання, тому посібник можна використати для самостійної підготовки із зазначених тем. Отримані знання можуть бути використані у дипломному проєктуванні при моделюванні детермінованих економічних або управлінських процесів.

2 Вибір варіанта завдання

Варіант завдання студенти вибирають як свій номер у журналі групи.

3 Транспортна задача

Важливим окремим випадком задачі лінійного програмування є транспортна задача (Т.З.)

3.1 Постановка задачі(т.З.) та ії математична модель

Існує n пунктів виробництва однорідного продукту і m пунктів його використання. Відомі об'єми виробництва й об'єми використання в кожному описаному пункті. Визначено матрицю перевезень (витрат або тарифів на перевезення) одиниці продукції з кожного пункту виробництва до кожного пункту споживання. Необхідно скласти план перевезень із пунктів виробництва до пунктів споживання таким чином, щоб був цілком задоволений попит на продукцію, а витрати на перевезення були мінімальними.

Побудуємо математичну модель задачі.

Нехай x_ij це об'єм продукції що перевозиться з i-го пункту виробництва А_i до j-й пункту споживання B_j,а с_ij витрати на перевезення одиниці продукції з i-го пункту виробництва А_i до j-й пункту споживання B_j.Тоді функцією мети L буде функція сумарних витрат на перевезення всієї продукції

(3.1)

Обмеження:

Транспортна задача є збалансованою, якщо сумарний попит дорівнює сумарній пропозиції,

(3.2)

ai – загальний об'єм виробництва на і-му пункті виробництва А_i,

bj – загальний об'єм споживання j-го пункту споживання B_j,

(3.3)

, ,

(3.1)-(3.3) – математична модель транспортної задачі (Т.З.).

Т.З. - цє задача лінійного програмування з числом обмежень (3.2), (3.3) – m+n+ 1 і числом змінних х_ij m х n.Але розв’язувати транспортну задачу методами лінійного програмування недоцільно,тому що багато змінних і матриця системи заповнюється ,в основному, нулями. Тому існують спеціальні методи розв’язання транспортних задач. Транспортна задача завжди має розв’язання.

Якщо , то така транспортна задача називається задачею закритого типу чи збалансованою. Якщо , то транспортна задача називається незбалансованою чи відкритого типу.

Незбалансовану транспортну задачу завжди можна зробити збалансованою.

: у цьому випадку вводиться фіктивний пункт споживання В_n+1 з обсягом споживання і тарифами перевезень до пункту В_n+1 такими, що дорівнюються нулям, тобто , .

: уводиться фіктивний пункт виробництва А_m+1 з обсягом виробництва , , .

Теорема

Транспортна задача закритого типу завжди має розв’язання.

Доказ

план Т.З. є набір , ,який задовольняє обмеженням (1.3).

За умовою теореми . Покажемо,що , , ,є планом Т.З.,тобто задовольняє обмеженням (1.3).

,

,

- задовольняє обмеженням (1.3), значить, це план транспортної задачі.