Позиционные

Позиционные системы счисления – такие, в которых количественный эквивалент цифры зависит от её места в записи числа.

Примеры:

1. Двоичная с.с. (основание равно 2, используются символы десятичных цифр 1 и 2, основной недостаток – большое число разрядов, нужных для записи чисел);

2. Восьмеричная с.с. (основание равно 8, используются символы десятичных цифр от 0 до 7);

3. Десятичная с.с.

4. Шестнадцатеричная с.с. (основание равно 16, используются символы десятичных цифр от 0 до 10, также буквы латинского алфавита от Α до F)

Под позиционной системой счисления обычно понимается b-ричная система счисления, которая определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:

(8)

где b - основание системы счисления? a_i - цифры, разрешённые в данной системе счисления (меньше b), n — число разрядов (позиций) в целой части числа; m — число разрядов в дробной части числа.

В позиционных системах счисления существуют свёрнутая и развёрнутая формы записи чисел, например: 333 – свёрнутая, – развёрнутая.

ПЕРЕВОД ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Перевод чисел из 10-ичной с.с. В с.с. с основанием n

Для перевода числа из с. с. с основанием n в десятичную с.с., следует сначала записать развёрнутую форму записи числа, то есть сложить цифры числа, умноженные на основание системы счисления в степени соответствующего цифре разряда и получить результат в 10-ичной системе, например: .

Примеры

;

;

Перевод целых чисел из 10-ичной с.с. в с.с. с основанием n

Чтобы перевести целое число из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием n, надо делить данное число на n, затем писать остаток и результат делить на n, повторяя эту операцию до тех пор, как частное будет равно 1. Затем написать эту единицу, и вслед за ней все остатки в обратной последовательности.⁵

Примеры.

Перевод чисел между 2-ичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами.

Для перевода чисел между двоичной и восьмеричной системами счисления удобно использовать таблицу соответствия восьмеричных цифр и двоичного кода

Таблица (1). Таблица соответствия восьмеричных цифр и двоичного кода

Десятичный эквивалент	0	1	2	3	4	5	6	7
Двоичный код	0	001	010	011	100	101	110	111
Восьмеричная цифра	0	1	2	3	4	5	6	7

Используя эту таблицу можно просто заменить каждую восьмеричную цифру тремя двоичными битами (так как q=2, N=2ⁱ, 2=2i, i=1 бит, q=8, N=2ⁱ, 8=2ⁱ, i=3 бит). Три двоичных бита обычно называют триадой или трибитом. Пример перевода восьмеричного числа 174₈ в двоичную форму при помощи таблицы :

Подобным образом можно выполнить перевод числа из двоичной системы в восьмеричную. Для этого двоичное число разбивают на триады относительно крайнего правого разряда (или двоичной запятой) и, используя таблицу , каждой триаде ставят в соответствие восьмеричную цифру.

Пример.

10101011,1001012	010	101	011,	100	1012	=253,458
	2	5	3	4	5

Аналогичным образом можно выполнить перевод числа из шестнадцатеричной формы в двоичную и обратно. В этом случае для представления шестнадцатеричной цифры потребуется четыре двоичных разряда (так как q=2, N=2ⁱ, 2=2i, i=1 бит, q=16, N=2ⁱ, 16=2ⁱ, i=4 бит). Четыре двоичных разряда обычно называют тетрадой.

Таблица 2. Таблица соответствия шестнадцатеричных цифр и двоичного кода

Двоичный код	шестнадцатеричная цифра	Десятичный эквивалент
0000	0	0
0001	1	1
0010	2	2
0011	3	3
0100	4	4
0101	5	5
0110	6	6
0111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	a	10
1011	b	11
1100	c	12
1101	d	13
1110	e	14
1111	f	15

Пример.

10101001,101112		1010	1001,	1011	10002	= A9,B816
		A	9	B	8