7. Основные законы алгебры логики
Способ определения истинности сложного выражения путём построения таблиц истинности становится громоздким при возрастании количества логических переменных, так как число наборов резко увеличивается.В таких случаях используют способы упрощения формул путём применения равносильных преобразований. Ниже в таблице приведены основные законы алгебры логики.
Основные законы алгебры логики
Выполняется закон двойственности: если конъюнкцию заменить дизъюнкцией, дизъюнкцию заменить конъюнкцией, 0 заменить на 1, а 1 на 0, то равносильность, записанная для дизъюнкции, перейдёт в равносильность, записанную для конъюнкции.
Под упрощением формулы понимают равносильное преобразование,приводящее к нормальной форме.
Выражение имеет нормальную форму, если в нём используются только операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания переменных. При этом не используются двойное отрицание и отрицание выражений.
Для приведения выражения к нормальной форме в первую очередь избавляются от отрицаний выражений, операций импликации, эквиваленции и исключающего или. Затем используют законы алгебры логики для уменьшения количества вхождений переменных.
Применение законов алгебры логики, похожих на законы преобразований в обычной алгебре, не вызывает затруднений. Рассмотрим примеры применения законов склеивания, поглощения, идемпотентности, законов де Моргана, не имеющих аналогов в обычной алгебре.
Закон склеивания А & В ∨ ¬А & В = В и (А ∨ В) & (¬А ∨ В) = В.
Упростить выражение X & Y & Z ∨ ¬X & Y & Z. В выражении X & Y & Z ∨ ¬X & Y & Z переменной А соответствует переменная X, переменной В соответствует выражение Y & Z. Тогда в результате упрощения получим
Упростить выражение (X ∨ Y ∨ Z) & (X ∨ ¬Y ∨ Z). В выражении (X ∨ Y ∨ Z) & (X ∨ ¬Y ∨ Z) переменной А соответствует переменная Y, переменной В соответствует выражение X ∨ Z. Получим
Упростить выражение X & Y & Z ∨ ¬X & Y & Z ∨ X & ¬Y & Z ∨ ∨ X & Y & ¬Z. В этом примере, на первый взгляд, закон склеивания можно использовать только один раз — для первого слагаемого и одного из трёх других:
Но если использовать закон идемпотентности А = А ∨ А, можно в исходную формулу добавить ещё два слагаемых, совпадающих с первым. Получим
Закон поглощения (см. табл.
)
Упростить выражение X ∨ X & Y ∨ X & Z ∨ X & Y & Z. Для всех слагаемых общим сомножителем является X. Последовательно применяя закон поглощения А ∨ А & В = А, получим
Упростить выражение X ∨ ¬X & Y ∨ ¬X & Z ∨ ¬X & Y & Z. Последовательно применяя закон поглощения А ∨ ¬А & В = А ∨ В, получим
В предпоследней строке к выражению Z ∨ ¬X & Y & Z был применён закон поглощения А ∨ А & В = А.
Упростить выражение (X ∨ Y) & (X ∨ Y ∨ Z) & (X ∨ Y ∨ ¬Z). Для всех сомножителей общим слагаемым является X ∨ Y, это и есть результат упрощения.
Совет: В операциях конъюнкции и дизъюнкции имена переменных записывайте в алфавитном порядке, причём сначала переменную,а затем её отрицание.
Комментарий
далее
Выполним преобразования выражений. Выделим шрифтом фрагменты, к которым применяются законы алгебры логики.
А ∨ В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В = А∨ В & ¬В (С ∨ ¬А ∨ ∨ А & С) = А + 0 = А. Формула выполнимая.
А & В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) ∨ ¬В = А & В & (С ∨ ¬А) ∨ ∨ ¬В = А & (С ∨ ¬А) ∨ ¬В = А & С ∨ ¬В. Формула выполнимая.
А & В ∨ (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В = А & В ∨ (С ∨ ¬А) & ¬В = А & В ∨ ¬В & С ∨ ¬А & ¬В. Формула выполнимая.
А & В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В =А & В & ¬В & (С ∨ ∨ ¬А ∨ А & С) = А & 0 & (С ∨ ¬А ∨ А & С) = 0. Формула тождественно ложная.
Тест
Пример 5.3.
Какое из перечисленных выражений является тождественно ложным?
А ∨ В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В
А & В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) ∨ ¬В
А & В ∨ (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В
А & В & (С ∨ ¬А ∨ А & С) & ¬В
Начало формы
Ответить
Показать
правильный ответ
Конец формы
Комментарий
далее
Выполним преобразования, используя законы де Моргана, закон двойного отрицания и формулу поглощения:
Тест
Пример 5.4.
Логическое выражение ¬(А & (В ∨ ¬С) ∨ ¬А & В) равносильно выражению
1
¬А & ¬В ∨ ¬В & С
¬А ∨ ¬В & С
¬А & С ∨ ¬В
Начало формы
Ответить
8. Задания для самостоятельного решения (часть А)
Тест
Пример 5.5.
Таблица истинности логической функции F = А & В ∨ ¬А & ¬В имеет вид
Начало формы
Ответить
Тест
Пример 5.6.
Таблица истинности логической функцииF = ¬А & В & ¬А & ¬В имеет вид
Начало формы
Ответить
Тест
Пример 5.7.
Таблица истинности логической функции F = ¬А & ¬В ∨ А & ¬В имеет вид
Начало формы
Ответить
Тест
Пример 5.8.
Таблица истинности логической функции F = ¬А & В ∨ ¬А & ¬В имеет вид
Начало формы
Ответить
Тест
Пример 5.9.
Таблица истинности логической функции F = (А & В) & ¬А & ¬В имеет вид
Начало формы
Ответить
Тест
Пример 5.10.
Для какого из указанных значений числа X истинно выражение ¬(X < 2) & (X < 3)?
1
2
3
4
Начало формы
Ответить
Тест
Пример 5.11.
Для какого из указанных значений числа X истинно выражение ¬(X > 2) ∨ (X > 6)?
2
3
4
5
Начало формы
Ответить
Тест
Пример 5.12.
Для какого из указанных значений числа X истинно выражение ¬(X > 5) & ¬(X < 2)?
0
1
3
6
Начало формы
Ответить
Тест
Пример 5.13.
Для какого из указанных значений числа X истинно выражение ¬((X — 2 > 6) ∨ (X — 4 > 8)) & ¬(X ⋅ 3 > 25)?
7
9
11
12
Начало формы
Ответить
Тест
Пример 5.14.
Для какого из указанных значений числа X истинно выражение ¬(X : 2 < 5) & ¬(X + 17 > 30) & (X ⋅ 3 < 39)?
8
9
12
13
Начало формы
Ответить
Пример 5.15.
Укажите тождественно истинное выражение.
¬А ∨ ¬В & (¬А ∨ А & В) ∨ ¬В
А & (¬А & В ∨ А & ¬В) ∨ ¬А
А & (¬А & В ∨ А & ¬В) & ¬А
А ∨ В & (¬А ∨ А & В) ∨ ¬В
Начало формы
Ответить
Конец формы
Тест
Пример 5.16.
Укажите тождественно ложное выражение.
¬(А ∨ В) & (¬А ∨ В)
¬(А & В) & (¬А ∨ В)
¬(А ∨ В) & (¬А & В)
¬(А & В) & (¬А & В)
Начало формы
Ответить
Конец формы
Пример 5.17.
Логическое выражение (¬А ∨ С) & ¬(А & С) & (В ∨ ¬С) & ¬(В & С) равносильно выражению
(¬А & ¬С) ∨ (¬В & ¬С)
¬А ∨ ¬C
¬А ∨ ¬В ∨ ¬С
¬А & С ∨ ¬А & ¬C ∨ ¬В & ¬С
Начало формы
Конец формы
Тест
Пример 5.18.
Логическое выражение ¬(А & В ∨ ¬С)) ∨ ¬А & В) равносильно выражению
0
¬А & В ∨ ¬А & C ∨ ¬В & С
¬А ∨ ¬В ∨ ¬С
¬А & В ∨ ¬А & ¬C ∨ ¬В & ¬С
Начало формы
Конец формы
Тест
Пример 5.19.
Логическое выражение ¬(А ∨ В) & (А ∨ С) & (С ∨ В) равносильно выражению
¬А ∨ В ∨ С
¬А & В & С
¬А & В & C ∨ А & В ∨ В & С
А & В ∨ ¬А & C ∨ В & С
Начало формы
Конец формы
Конец формы
Конец формы
Некоторые из этих функций соответствуют известным вам логическим операциям, например: Y2 — конъюнкция, Y8 — дизъюнкция.