Примеры исследования свойств картографической проекции, заданной определенной системой уравнений

Пример № 1

Пусть картографическая проекция задана уравнениями следующего вида:

. (18)

1. Определение вида меридианов и параллелей.

В первом уравнении проекции x является функцией только широты φ. Следовательно, уравнение при φ = const представляет собой уравнение параллелей, изображающихся прямыми параллельными линиями.

Во втором уравнении y – функция двух переменных – φ и λ. Чтобы получить уравнение меридианов из первого уравнения системы (18), находим φ = x/R и подставляем его во второе уравнение, которое примет следующий вид: , λ = const – уравнение меридианов (уравнение синусоиды).

Используя классификацию проекций по виду сетки, делаем вывод, что исследуемая проекция – псевдоцилиндрическая.

2. Построение сетки:

а) определяют масштаб построения проекции.

С учетом заданного формата чертежной бумаги для построения картографической сетки и вытянутости изображения земной поверхности в псевдоцилиндрической проекции с запада на восток масштаб построения проекции следует определить выражением:

, (19)

где 26 см – длина экватора на плоскости чертежа;

2 R – длина экватора на поверхности сферы; R = 64 · 10⁷ см (рис. 29).

Рис. 29. Схема размещения чертежа при построении картографической сетки псевдоцилиндрической проекции

Тогда

₀ .

Для удобства в расчетах координат x, y масштаб построения следует округлить, а именно принять его равным

₀ ;

б) для построения параллелей, с учетом уравнения параллелей, вычисляют x = R · φ · μ₀; φ – взять в радианной мере.

Результаты вычислений x_i приведены в табл. 3.

Таблица 3

Абсциссы x_i

φ, °	φ, рад	xi, см
0	0,00	0,00
30	0,53	2,08
60	1,06	4,16
90	1,57	6,28

Из табл. 3 видно, что экватор совпадает с осью y. Последовательно откладывая от оси y расстояния x₂, x₃, x₄, находят положения параллелей 30, 60, 90 (рис. 30);

Рис. 30. Построение параллелей картографической сетки псевдоцилиндрической проекции

в) строят меридианы, используя уравнения меридианов:

.

Учитывая, что λ не входит под знак какой-либо функции, можно сделать вывод о том, что расстояние между меридианами на каждой конкретной параллели есть величина постоянная. Поэтому при расчетах y_i достаточно принять λ = 30; в радианной мере λ = 0,523. Вычисления для построения меридианов приведены в табл. 4.

Таблица 4

_{Ординаты y}i

φ, °	λ, рад	yi, см
0	0	2,08
30	0,52	1,71
60	1,05	1,04
90	1,57	0,00

Средний меридиан λ = 0 будет совпадать с осью X.

Полученные значения Y откладываем 6 раз на восток и на запад от оси X по каждой из параллелей и соединяем соответствующие точки (рис. 31).

Построение картографической сетки на рис. 30, 31 приведено лишь для 1/4 части изображения. Это построение будет симметрично относительно среднего меридиана и экватора.

Рис. 31. Построение меридианов картографической сетки псевдоцилиндрической проекции

3. Нанесение на построенную картографическую сетку рисовкой по клеткам необходимых контуров материков с использованием географических атласов.

4. Определение свойств картографической проекции:

а) находят частные производные по заданным уравнениям (18):

;

б) определяют Гауссовы коэффициенты по уравнениям (16):

E = x_² + y_² = R²(1 + λ² sinφ);

G = x_² + y_² = R² cos²φ;

F = x_ x_ + y_ y_ = –R² λ sinφ cosφ;

H = x_ у_ – x_ y_ = R² cosφ;

в) находят в общем виде выражения для характеристик проекции по формулам (17):

;

.

По найденному значению характеристики Р = 1 и делают вывод о том, что исследуемая проекция по характеру искажений – равновеликая.

5. Вычисление величины искажений в узловых точках сетки (табл. 5):

Таблица 5

Значения масштабов m, n, p

	λ, °	m							n	p
φ, °		0	30	60	90	120	150	180
0		1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
30		1,000	1,034	1,129	1,272	1,448	1,647	1,862	1,000	1,000
60		1,000	1,098	1,350	1,688	2,071	2,478	2,899	1,000	1,000
90		1,000	1,129	1,448	1,862	2,321	2,802	3,329	1,000	1,000

6. Вывод. Исследуемая проекция по виду картографической сетки является псевдоцилиндрической, по характеру искажений – равновеликой.

Пример № 2

Пусть картографическая проекция задается уравнениями следующего вида:

(20)

1. Определение вида меридианов и параллелей. Из совместного решения системы уравнений получаем:

х² + у² = R² cos²φ (cos²λ + sin²λ) = R²cos²φ. (21)

Тогда при φ = const уравнение (12) будет уравнением параллелей (уравнением окружностей с радиусом  = R cos φ).

Поделив первое уравнение на второе, получают:

или . (22)

Тогда при λ = const уравнение (22) есть уравнение меридианов (уравнение пучка прямых линий).

Используя классификацию проекций по виду картографической сетки, делают вывод о том, что исследуемая проекция – азимутальная.

2. Построение сетки:

а) определяют масштаб построения проекции.

С учетом заданного формата чертежной бумаги для построения картографической сетки и округлой формы изображения земной поверхности в азимутальной проекции (рис. 32) масштаб построения проекции следует определять выражением:

, (23)

где 8 см – принятый в масштабе построения радиус экватора на плоскости;

ρ_{экв/  } – радиус экватора на поверхности сферы.

Рис. 32. Схема размещения чертежа при построении картографической сетки азимутальной проекции

В нашем случае ρ_экв = R cos φ; при φ = 0 – ρ_экв = R, R = 64  10⁷ см, μ₀ = 1 : 80 000 000;

б) для построения параллелей, вычисляем их радиусы по формуле:

 = R cos φ  μ₀.

Результаты вычисления приведены в табл. 6.

Таблица 6