3. Система географических координат и координатных линий на поверхности эллипсоида и сферы

Положение точки на поверхности эллипсоида может быть определено в той или иной системе координат. Основная система координат – географическая с широтой φ, долготой λ (рис. 2).

Рис. 2. Система географических координат на эллипсоиде вращения

Географическая широта φ есть угол между плоскостью экватора и нормалью текущей точки М (см. рис. 2). Широта меняется от 0 до 90.

Географическая долгота λ есть двугранный угол между плоскостями начального меридиана и меридиана текущей точки М. Долгота изменяется от 0 до 180 на запад и восток от начального меридиана. При картографических расчетах западные долготы берутся со знаком «минус», восточные – со знаком «плюс».

Кроме рассмотренной системы координат, существует целый ряд других, используемых в математической картографии:

- прямоугольная сфероидическая;

- сферическая полярная и др.

Под координатными линиями следует понимать геометрические места точек, для которых одна из координат постоянна. Например, параллель есть геометрическое место точек равных широт (φ = const), а меридиан – есть геометрическое место точек равных долгот (λ = const),

В тех случаях, когда Земля принимается за сферу, географическими координатами называют сферические координаты φ, λ с полюсом системы координат, совпадающим с географическим полюсом (рис. 3).

Рис. 3. Система географических координат на сфере

Сферическая широта φ – угол между плоскостью экватора и радиус-вектором текущей точки М.

Сферическая долгота λ – двугранный угол между плоскостями начального меридиана и меридиана текущей точки М.

Координатными линиями для этой системы координат будут линии параллелей (φ = const) и линии меридианов (λ = const).

4. Понятия о картографической проекции и сетке

Под картографической проекцией понимается некоторый определенный математический закон изображения поверхности относимости на плоскость, при котором всегда выполняются следующие требования:

- точке, взятой на поверхности, соответствует одна и только одна точка на плоскости, и наоборот;

- бесконечно малому перемещению точки на поверхности соответствует также бесконечно малое перемещение точки на плоскости, и наоборот;

- сохраняется направление обхода контуров на поверхности и на плоскости.

Проекция устанавливает однозначное и непрерывное соответствие между точками поверхности эллипсоида (сферы) и плоскости. Это соответствие может быть задано уравнениями вида

, (1)

где функции f₁ и f₂ – всегда однозначные, дважды непрерывно дифференцируемые и имеют Якобиан – определитель системы (1) – ;

φ, λ – координаты точки на поверхности эллипсоида;

X, Y – координаты точки на плоскости.

Такой системой двух уравнений может быть представлена любая картографическая проекция. Но вид функции (1) может быть разнообразным в зависимости от принятых систем координат на поверхности эллипсоида вращения (сферы).

Совокупность двух семейств координатных линий на поверхности эллипсоида вращения (сферы) принято называть координатной сетью. Изображение же этой сети на плоскости в заданной проекции называется картографической сеткой.

Любая картографическая проекция обладает рядом присущих ей характеристик, которые будут определяться принятым законом изображения. Чаще всего для описания проекций пользуются следующими характеристиками – m, n, p, ω θ a, b, γ:

m – масштаб длин по меридиану;

n – масштаб длин по параллели;

p – масштаб площади;

ω – наибольшее угловое искажение;

θ – угол между меридианом и параллелью;

a, b – экстремальные масштабы;

γ – сближение меридианов.

Изучая суть проекций,

Надо помнить положение:

С переходом сферы в плоскость

Неизбежны искажения.

Карты вовсе не безгрешны

И в пределах разных норм

Нарушают верность линий,

Площадей, углов и форм.

2.5. Понятия о масштабах и наибольшем угловом искажении

На любой карте, составленной в определенной проекции, следует различать три масштаба: частный линейный, масштаб площади, главный (общий).

В общем случае частным линейным масштабом (масштабом длин) называют предел отношения бесконечно малого отрезка dσ, взятого на плоскости в заданной проекции в данной точке по данному направлению, к соответствующему бесконечно малому отрезку dS на поверхности при стремлении последнего к нулю. Обозначим частный линейный масштаб через μ. Тогда

.

Однако, учитывая, что dσ всегда есть функция dS, частный масштаб можно определить выражением

.

Этот масштаб в общем случае меняется при переходе от одной точки к другой и меняется в самой точке в зависимости от направления. Поэтому m и n – это есть масштабы по направлениям меридианов и параллелей соответственно, a и b – масштабы по главным направлениям (взаимно-ортогональным), вдоль которых масштабы всегда экстремальны.

Масштабом площадей называется отношение бесконечно малой области, ограниченной замкнутым контуром, взятой на плоскости dS_пл, к соответствующей бесконечно малой области на поверхности эллипсоида dS_элл. Масштаб площадей обозначим через p, тогда

.

Масштаб площадей зависит от положения точки, но не меняется в самой точке по направлениям.

Главный (общий) масштаб характеризует степень уменьшения земной поверхности при изображении ее на плоскости. Этот масштаб представляет некоторое значение из частных масштабов длин или характеризует степень уменьшения характерных линий (средний меридиан, экватор). Масштаб подписывается на карте и никакого влияния на величины искажений не имеет.

Под наибольшим угловым искажением ω понимается разность углов между азимутом линейного отрезка на эллипсоиде α и изображением этого азимута на плоскости А:

ω /2 = (α – А)_max.

6. Классификация картографических проекций

Все картографические проекции классифицируются по характеру искажений, виду меридианов и параллелей нормальной картографической сетки, положению полюса нормальной системы координат.

Вспомогательными плоскостями

при переходе от эллипсоида или шара к карте могут быть

плоскость, цилиндр, конус, серия конусов и некоторые другие геометрические фигуры.

Классификация проекций по способу ориентирования

вспомогательных геометрических поверхностей

6.1. Классификация картографических проекций по характеру искажений

По характеру искажений различают следующие картографические проекции:

а) равноугольные, или конформные. В этих проекциях масштабы длин в точках не зависят от направления, как следствие, сохраняется подобие в бесконечно малых частях, углы и азимуты передаются без искажений. Эти проекции могут быть описаны уравнениями в характеристиках вида

; (2)

б) равновеликие, или эквивалентные. В этих проекциях без искажения передаются площади изображаемых территорий. Они описываются характеристическими уравнениями вида

Р = 1 или, что однозначно, Н = R² cosφ; (3)

в) равнопромежуточные. В этих проекциях линейный масштаб по одному из главных направлений равен 1, т. е. имеет место

либо а = 1, либо b = 1; (4)

г) произвольные. К этим проекциям относятся такие, которые не отвечают ни одному из выше перечисленных условий. Они имеют угловые, площадные и линейные искажения.