§ 2. Некоторые методы доказательства

I. Метод вспомогательной гипотезы

Теорема 1. Метатеорема дедукции Эрбрана-Тарского

Пусть T – теория первого порядка и T ¢ = T +{j} – теория первого порядка, полученная из T добавлением формулы j к перечню аксиом теории T, причём j является формулой языка L_T. Тогда если формула y языка L_T является теоремой теории T ¢ и в доказательстве y не используется правило обобщения по переменным, входящим свободно в j, то T⊢j®y.

Доказательство индукцией по длине вывода с перебором случаев, в зависимости от обоснования последнего вывода.

Примечание. Ограничение в условии теоремы существенно. Если j = (x = 1) и T¢ = Ar+{j}, то тогда T⊢ ("x)(x = 1). Если бы Ar⊢ (x = 1)®("x)(x = 1), то Ar⊢ ($x)(x = 1)®("x)(x = 1), а потому Ar⊨ ($x)(x = 1)®("x)(x = 1).

II. Метод вспомогательной константы

Теорема 2. Если ⊢j®y и ⊢ ($a)j, и aÏ Free y, то ⊢y.

III. Метод приведения к абсурду

Теорема 3. 1°. Если ⊢Øj®y и ⊢Øj®Øy, то ⊢j.

2°. Если ⊢Øj®yÙØy, то ⊢j.

IV. Метод перебора случаев

Теорема 4. 1°. Если ⊢j®c и ⊢y®c, то ⊢jÚy®c.

В частности,

2°. Если ⊢j®c, ⊢y®c,⊢jÚy, то ⊢c.

3°. Если ⊢j®c, ⊢Øj®c, то ⊢c.

§ 3. Модели теорий первого порядка

Определение модели теории T, общезначимой в теории T формулы, истинного в теории T высказывания. T ⊨j.

Теорема 1. Теорема адекватности

Если T ⊢j, то T ⊨j.

Определение противоречивой теории.

Теорема 2. Любая формула противоречивой теории является теоремой этой теории.

Теорема 3. Противоречивые теории не имеют моделей.

Теорема 4. Теорема Гёделя

Если теория непротиворечива, то она имеет модель.

Теорема 5. Теорема полноты Гёделя

Пусть T – непротиворечивая теория. Тогда T ⊢j если и только если T ⊨j.

Лемма. Если j – высказывание теории T и T ⊢j, то T ¢ = T +{Øj} является непротиворечивой теорией.

Определение исчисления предикатов.

Теорема 6. Исчисление предикатов непротиворечиво (Логика непротиворечива).

План доказательства.

u: p_i ® X_i. Продолжить u до : стирает термы и кванторы.

Литература

1. Мадер В.В. Введение в методологию математики. – М.: Интерпракс, 1995.

2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1973.

3. Назиев А.Х. Вводный курс математики – Рязань: Изд-во РГПУ, ч. 2а – 2000.

4. Назиев А.Х., Моисеев С.А., Математическая логика: задачник-практикум. – Рязань: Изд-во РГУ, 2011.

5. Никольская И.Л. Математическая логика. – М.: Высшая школа, 1981.

6. Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М.: Просвещение, 1966.

14