§ 12. Дальнейшие распределительные законы. Предварённая нормальная форма
Теорема 1. Дальнейшие распределительные законы
Если aÏ Free j, то
1°. ("a)(jÚy) º jÚ("a)y.
2°. ("a)(jÙy) º jÙ("a)y.
3°. ("a)(j®y) º j®("a)y.
4°. ($a)(jÚy) º jÚ($a)y.
5°. ($a)(jÙy) º jÙ($a)y.
6°. ($a)(j®y) º j®($a)y.
Если aÏ Free y, то
("a)(jÚy) º ("a)jÚy.
("a)(jÙy) º ("a)jÙy.
("a)(j®y) º ($a)j®y.
($a)(jÚy) º ($a)jÚy.
($a)(jÙy) º ($a)jÙy.
($a)(j®y) º ("a)j®y.
Предварённая нормальная форма.
Теорема 2. Для каждой формулы существует равносильная ей формула, имеющая предварённую нормальную форму.
§ 13. Типовые кванторы
(D1) Считаем ("a)cj сокращением для ("a)(c®j).
(D2) Считаем ($a)cjсокращением для ($a)(cÙj).
Теорема 1. Связь типовых кванторов с обычными
1°. ("a)j É ("a)cj.
2°. ($a)cj É ($a)j.
Теорема 2. 1°. Если ⊨ ($a)c, то ("a)cj É ($a)cj.
2°. Вообще говоря, ("a)cj É ($a)cj.
Теорема 3. Если aÏ Free j, то ("a)c(jÚy) É jÚ("a)cy.
Теорема 4.
Пусть
j¢
= j
,
c¢
= c
,
причём обе подстановки допустимы. Тогда
1°. ("a)cj É c¢®j¢.
2°. c¢Ùj¢ É ($a)cj.
3°. Если ⊨c¢, то ("a)cj É j¢ É ($a)cj.
Теорема 5. Пусть j É y.
1°. Если aÏ Free j, то j É ("a)cy. Если aÏ Free y, то ($a)cj É y.
2°. ("a)cj É ("a)cy. ($a)cj É ($a)cy.
Теорема 6. Если aÏ Free j и ⊨ ($a)c, то ("a)cj º j º ($a)cj.
Теорема 7. Законы отрицания для типовых кванторов
1°. Ø("a)cj º ($a)cØj.
2°. Ø($a)cj º ("a)cØj.
Теорема 8. Законы перестановочности типовых кванторов
Если aÏ Free c¢ и a¢Ï Free c, то
1°. ("a)c("a¢)c¢j º ("a¢)c¢("a)cj.
2°. ($a)c($a¢)c¢j º ($a¢)c¢($a)cj.
3°. ($a)c("a¢)c¢j É ("a¢)c¢($a)cj.
4°. Вообще говоря, обращение к 3° неверно.
Теорема 9. Пусть ⊨ ($a)c. Тогда для кванторов типа c имеют место аналоги всех утверждений, сформулированных в теореме о распределительных законах для кванторов.
Примечание. На самом деле это предположение используется в каждой строке только в одном месте.
Теорема 10. Пусть ⊨ ($a)c. Тогда для кванторов типа c имеют место аналоги всех утверждений, сформулированных в теореме 7.1.
Теорема 11. Для каждой формулы с кванторами типа c существует равносильная ей формула, имеющая ПНФ.
Глава III. Исчисление высказываний
§ 1. Классическое исчисление высказываний
Общий обзор понятия исчисления. Алфавит. ППЗС. Аксиомы. Правила вывода. Доказательства. Теоремы.
Алфавит КИВ.
Сокращения:
(D3) (AÙB) вместо Ø(A®ØB).
(D4) (AÚB) вместо (ØA®B).
(D5) (A«B) вместо ((A®B)Ù(B®A)).
ППЗС КИВ = редуцированные ВС.
Схемы аксиом:
(AS-1) Любая формула вида A®(B®A) является аксиомой.
(AS-2) Любая формула вида (A®(B®С))®((A®B)®(A®С)) является аксиомой.
(AS-3) Любая формула вида (ØA®ØB)®((ØA®B)®A) является аксиомой.
Правила вывода:
(R1) = (MP) (правило отделения): Из A и A®B получается B.
(Формальное) Доказательство. Теорема. ⊢A.
Теорема 1. ⊢A®A.
Понятие вывода из гипотез. G⊢A.
Пример. A®B, B®С⊢A®С.
Теорема 2. Простейшие свойства выводимости
1°. (Монотонность) Если GÌ D и G⊢A, то D⊢A.
2°. (Транзитивность) Если G⊢A и D⊢G, то D⊢A.
3°. (Компактность) Если G⊢A, то существует конечное G0Ì G такое, что G0⊢A.
Теорема 3. Теорема адекватности
Если ⊢A, то ⊨A.