§ 9. Дедуктивная сила и равносильность формул

Дедуктивная сила и равносильность формул. j É y. j º y.

Теорема 1. Простейшие свойства дедуктивной силы

1°. j É j.

2°. Если j É y и y É y, то j º y и наоборот.

3°. Если j É y и y É c, то j É c.

Теорема 2. Простейшие свойства равносильности

1°. j º j.

2°. Если j º y, то y º j.

3°. Если j º y и y º c, то j º c.

Теорема 3. Согласованность дедуктивной силы с логическими операциями

Пусть j É y. Тогда

1°. Øy É Øj.

2°. cÚj É cÚy.

3°. cÙj É cÙy.

4°. c®j É c®y.

5°. c«j É c«y.

6°. Если aÏ Free j, то j É ("a)y.

7°. ("a)j É ("a)y.

jÚc É yÚc.

jÙc É yÙc.

y®c É j®c.

j«c É y«c.

Если aÏ Free y, то ($a)j É y.

($a)j É ($a)y

Теорема 4. Согласованность равносильности с логическими операциями

Пусть j º y. Тогда

1°. Øj º Øy.

2°. cÚj º cÚy.

3°. cÙj º cÙy.

4°. c®j º c®y.

5°. c«j º c«y.

6°. Если aÏ Free j, то j º ("a)y.

7°. ("a)j º ("a)y.

jÚc º yÚc.

jÙc º yÙc.

j®c º y®c.

j«c º y«c.

Если aÏ Free y, то ($a)j º y.

($a)jº ($a)y

Теорема 5. Теорема о равносильной замене

Пусть формула y¢ получается из формулы y заменой некоторых вхождений ее подформулы j на вхождения j¢. Тогда если j º j¢ то y º y¢.

Теорема 6. Пусть формулы j и y получаются из высказывательных схем F и Y заменой всех высказывательных переменных формулами, при условии, что все вхождения одной и той же переменой заменяются вхождениями одной и той же формулы. Тогда

1°. Если F ® Y тавтология, то j É y.

2°. Если F « Y тавтология, то j º y.

Теорема 7. Законы поглощения

1°. Если ⊨j, то jÙy º ØjÚy º j®y º j«y º y.

2°. Если ⊨y, то j®Øy º j«Øy º Øj.

Теорема 8. 1°. Если j É y, то jÙy º j и jÚy º y.

2°. Если j₁ É y₁ и j₂ É y₂, то j₁Új₂ É y₁Úy₂, j₁Ùj₂ É y₁Ùy₂.

3°. Если j É c, y Éc, то jÚy Éc.

4°. Если j É y, j Éc, то j É yÙc.

§ 10. Простейшие свойства кванторов

Теорема 1. 1°. ("a)j É j, j É ($a)j.

2°. Если aÏFree j, то ("a)j º j, j º ($a)j.

Теорема 2. Правила отрицания

1°. ($a)j º Ø("a)Øj.

2°. Ø($a)j º ("a)Øj.

3°. ("a)j º Ø($a)Øj.

4°. Ø("a)j º ($a)Øj.

Теорема 3. Правила перестановки кванторов

1°. ("a)("b)j º ("b)("a)j.

2°. ($a)($b)j º ($b)($a)j.

3°. ($a)("b)j É ("b)($a)j.

4°. ("b)($a)j É ($a)("b)j.

Непосредственные алфавитные варианты. Алфавитные варианты.

Теорема 4. Теорема об алфавитных вариантах

1°. Непосредственные алфавитные варианты равносильны.

2°. Алфавитные варианты равносильны.

§ 11. Распределительные законы для кванторов

Теорема. Распределительные законы для кванторов

($a)jÚ("a)y

⇗ ⇘

1°. ("a)jÚ("a)y⇒ ("a)(jÚy) ($a)jÚ($a)y º ($a)(jÚy).

⇘ ⇗

("a)jÚ($a)y

($a)jÙ("a)y

⇗ ⇘

2°. ("a)(jÙy) º ("a)jÙ("a)y ($a)(jÙy)⇒ ($a)jÙ ($a)y.

⇘ ⇗

("a)jÙ($a)y

("a)j®("a)y

⇗ ⇘

3°. ($a)j®("a)y⇒ ("a)(j®y) ("a)j®($a)yº($a)(j®y).

⇘ ⇗

($a)j®($a)y

("a)j«("a)y ($a)j«("a)y

⇗ ⇘

4°. ("a)(j«y) ($a)(j«y).

⇘ ⇗

($a)j«($a)y ("a)j«($a)y

5°. Во всех схемах знак “⇒” нельзя заменить на знак “º”.