§ 6. Семантика языков первого порядка: истинностные значения формул
B = {0, 1}. 0 < 1.
Определение значения формулы на последовательности d. , dD.
Теорема 1. Если d совпадает с e на Free , то , dD = , eD.
Следствие. Если Free = , то , dD – величина постоянная для любой dsqD. Оно называется значением формулы в данной интерпретации и обозначается D.
D⊨[d] – формула выполняется на последовательности d в интерпретации D (d удовлетворяет ).
Теорема 2. Свойства выполнимости
1. Если = (1, 2, ..., n), то D⊨[d] (1, dD, 2, dD, ..., n, dD)R, где R – значение в интерпретации D.
2. Если = , то D⊨[d] D⊭[d].
3. Если = 12, то D⊨[d] D⊨1[d] или D⊨2[d].
4. Если = 12, то D⊨[d] D⊨1[d] и D⊨2[d].
5. Если = 12, то D⊨[d] D⊨1[d] и D⊭2[d].
6. Если = 12, то D⊨[d] D⊨1[d] и D⊨2[d] или D⊭1[d] и D⊭2[d].
7. Если = (), то D⊨[d] D⊨[d ] для всех d , являющихся изменениями d по .
8. Если = (), то D⊨[d] D⊨[d ] для некоторой d , являющейся изменением d по .
§ 7. Понятие истины для языков первого порядка
Высказывания. Истинность и ложность высказывания в данной интерпретации. D⊨. D⊭.
Теорема 1. Свойства истинности высказываний
Пусть – высказывание.
1. Всякое высказывание либо истинно, либо ложно. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
2. Если = (1, 2, ..., n), то D⊨ (1D, 2D, ..., nD)R, где R – значение в интерпретации D.
3. Если = , то D⊨ D⊭.
4. Если = 12, то D⊨ D⊨1 или D⊨2.
5. Если = 12, то D⊨ D⊨1 и D⊨2.
6. Если = 12, то D⊨ D⊨1 и D⊭2.
7. Если = 12, то D⊨ D⊨1 и D⊨2 или D⊭1 и D⊭2.
8. Если = (), то D⊨ D⊨[d] для всех dsqD.
9. Если = (), то D⊨ D⊨[d] для некоторой d.
§ 8. Истинность и логическая истинность
Истинные в данной интерпретации формулы. D⊨j.
Логически истинные формулы. ⊨j.
Формулы, являющиеся частными случаями высказывательных схем.
Теорема 1*. Пусть j – частный случай высказывательной схемы F, D – интерпретация, dÎ sq D. Тогда существует sÎ q B такая, что áj, dñD = áF, sñ.
Теорема 2. Всякая формула ЯПП, являющаяся частным случаем тавтологии, логически истинна.
Теорема 3. Простейшие свойства логически истинных формул
Совпадает с Теоремой I.2.1.
Некоторые не тавтологические логически истинные формулы
Теорема 4*. Семантическое правило замены в формулах
Пусть
j
– формула, aj
– переменная, t
– терм, допустимый для подстановки в
j
на месте aj,
j¢
= j
,
d
– произвольная последовательность из
sq
D,
d
¢
– изменение d
по aj
такое, что d
= át,
dñD.
Тогда áj¢,
dñD
= áj,
d
¢ñD.
Теорема 5. Если формула j готова для подстановки терма t на месте переменной a и если j¢ = j , то
1) ⊨ ("a)j®j¢;
2) ⊨j¢®(a)j.
Теорема 6. 1°. Если aÏ Free j, то
а) ⊨ ("a)(jÚy)®jÚ("a)y, в частности,
б) ⊨ ("a)(j®y)®(j®("a)y).
2°. Если aÏ Free y, то
а) ⊨ ("a)(jÚy)®(a)jÚy;
б) ⊨ ("a)(j®y)®((a)j®y).
3°. ⊨j Û ⊨ ("a)j.