§ 3. Чтение знакосочетаний

Экономия скобок

Правила опускания и восстановления скобок в формулах.

1. Областью действия знака отрицания и квантора является ближайшая от него правая часть, являющаяся формулой.

Областью действия каждой из бинарных связок являются ближайшие от них правая и левая части, являющиеся формулами.

2. Заключаем в скобки (если они отсутствуют) знаки отрицания и кванторы с их областями действия. Затем последовательно заключаем в скобки знак конъюнкции с его областью действия, а далее знак дизъюнкции, импликации и эквиваленции с их областями действия.

3. Если в ЗС встречаются подряд несколько одинаковых бинарных знаков, то скобки восстанавливаются справа

В конкретных языках первого порядка встречаются конкретные знаки операций и отношений. В этих языках восстановление скобок начинается с восстановления скобок при знаках операций, затем – при знаках отношений, и только потом восстанавливаются скобки по правилам 1–3.

§ 4. Грамматика языков первого порядка: свобода, связанность, подстановки

I. Свобода и связанность

Связанные и свободные вхождения переменных и ЗС.

Примеры связанных и свободных вхождений, одновременного присутствия как связанных, так и свободных вхождений переменной. Независимость от связанных переменных.

II. Подстановки

Подстановка. Последовательная (цепная) подстановка. Одновременная подстановка. m , .

Теорема 1^. Общие свойства подстановок

1°. Вообще говоря, ¹ и оба они отличны от .

2°. = , где = q₁ ,

= , где = q₂ .

3°. = ... ... , где b₁, b₂, ..., b_n – различные новые переменные.

Теорема 2. Грамматические свойства подстановок

1°. Если s и t – термы, a – переменная, то t – терм.

2°. Если t – терм, j – формула, a – переменная, то j – формула.

3°. Если s, s¢ и t – термы, а t¢ получается из t заменой некоторых выделенных вхождений s на вхождения s¢, то t¢ – терм.

4°. Если s и s¢– термы, j – формула, и j¢ получается из j заменой некоторых выделенных вхождений s на вхождения s¢, то j¢ – формула.

5°. Если j, y и c – формулы, и j¢ получается из j заменой некоторых выделенных вхождений y на вхождения c, то j¢ – формула.

III. Термы, допустимые для подстановки

Примеры термов, допустимых для подстановки и не допустимых для подстановки.

Теорема 3. Простейшие свойства допустимости

1°. Если терм не содержит свободных вхождений переменных, то он допустим для подстановки в любую формулу.

2°. Если формула не содержит свободных вхождений переменной a, то любой терм допустим для подстановки в эту формулу на месте a.

3°. Если формула не содержит связанных вхождений переменных, то любой терм допустим для подстановки на месте любой переменной.

§ 5. Семантика языков первого порядка: интерпретации и значения термов

D: I₁(=D)+I₂(z_i c_iÎD)+I₃(w O )+I₄(p R ). sqD.

Определение значения терма на последовательности d. át, dñ_D.

d – изменение e по V₀, (совпадает на V \ V₀).

Теорема 1*. Если d совпадает с e на Free t, то át, dñ_D = át, eñ_D.

Следствие. Если Free t = Æ, то át, dñ_D – величина постоянная для любой

dÎ sq D. Она называется значением терма t в данной интерпретации и обозначается átñ_D.

Теорема 2*. Семантическое правило замены в термах

Пусть s и t – термы, a_j – переменная, t¢ = t , d – произвольная последовательность из sq D, d ¢ – изменение d по a_j такое, что d = ás, dñ_D.

Тогда át¢, dñ_D = át, d ¢ñ_D.

Равнозначность термов. Логическая равнозначность. º_D. º.

Теорема 3*. Свойства равнозначности

1°. Отношение равнозначности является отношением эквивалентности.

2°. (Правило замены) Пусть s, s¢ и t – термы, t¢ получается из t заменой некоторых выделенных вхождений s на вхождения s¢. Тогда если s º s¢, то t º t¢.