§ 3. Равносильность высказывательных схем

Равносильность ВС. º.

Теорема 1. Свойства равносильности

1°. Отношение равносильности является отношением эквивалентности.

2°. (Критерий равносильности) ВС А и В равносильны тогда и только тогда, когда (А«В) является тавтологией.

3°. (Правило подстановки) Если А, В и С – ВС и А₁ получено из А заменой некоторых вхождений В на вхождения С, и если В º С, то А º А₁.

Теорема 2. Важнейшие равносильности ВС

1°. ØØА º А.

2°. АÙА º А. 2¢. АÚА º А.

3°. АÙВ º ВÙА. 3¢. АÚВ º ВÚА.

4°. АÙ(ВÙС) º (АÙВ)ÙС. 4¢. АÚ(ВÚС) º (АÚВ)ÚС.

5°. АÙ(ВÚС) º (АÙВ)Ú(АÙС). 5¢. АÚ(ВÙС) º (АÚВ)Ù(АÚС).

6°. Ø(АÙВ) º ØАÚØВ. 6¢. Ø(АÚВ) º ØАÙØВ.

7°. АÙ(АÚВ) º А. 7¢. АÚ(АÙВ) º А.

8°. ИÙА º А. 8¢. ЛÚА º А.

ЛÙА º Л. ИÚА º И.

9°. АÙØА º Л. 9¢. АÚØА º И.

10°. А®В º ØАÚВ.

11°. АÚВ º ØА®В.

12°. Ø(А®В) º АÙØВ.

13°. А«В º (А®В)Ù(В®А).

А«В º (ØАÚВ)Ù(ØВÚА).

А«В º (АÙВ)Ú(ØАÙØВ).

§ 4. Кнф днф. Скнф и сднф

Литеры. Контрарные литеры. ВС с тесными отрицаниями.

Теорема 1. Всякая ВС равносильна ВС с тесными отрицаниями.

Конъюнкты и дизъюнкты. ДНФ и КНФ.

Полные конъюнкты и дизъюнкты над списком Х₁, Х₂, …, Х_n. СДНФ и СКНФ.

Теорема 2. Всякая ВС равносильна некоторой ДНФ и некоторой КНФ.

Теорема 3. 1°. Всякая ВС над списком Х₁, Х₂, …, Х_n, не являющаяся противоречивой, единственным образом представляется в виде СДНФ.

2°. Всякая ВС над списком Х₁, Х₂, …, Х_n, не являющаяся тавтологией, единственным образом представляется в виде СКНФ.

§ 5. Принцип двойственности

Негатив А¢ и двойственная А^* высказывательные схемы к ВС с тесными отрицаниями А.

Теорема. Принцип двойственности

1°. ØА º А¢.

2°. Если ВС А является противоречием, то А^* является тавтологией.

3°. Если ВС А является тавтологией, то А^* является противоречием.

4°. Если А º В, то А^* º В^*.

5°. Если ВС А®В является тавтологией, то ВС В^*®А^* также является тавтологией.

§ 6. Отношение следования

Отношение следования на множестве ВС. А ⊨ В или А É В. А сильнее В. В слабее А. А является достаточным условием для В. В является необходимым условием для А.

Теорема. Свойства отношения следования

1°. Отношение следования является рефлексивным и транзитивным.

2°. (Критерий равносильности) А É В тогда и только тогда, когда (А®В) является тавтологией.

3°. А º В тогда и только тогда, когда А É В и В É А.

Правильные рассуждения.

§ 7. Булевы функции. Полиномы Жегалкина

Булевы функции и их композиция. Количество булевых функций от n переменных. Каталог бинарных булевых функций.

Высказывательные схемы в базисе F. ВС(F).

Полные и независимые множества булевых функций F.

Одночлены и многочлены над списком Х₁, Х₂, …, Х_n.

Теорема. Всякая булева функция от n переменных единственным образом представляется в виде многочлена Жегалкина.

§ 8. Замкнутые классы булевых функций

Сохраняющие 0 функции. С₀. Сохраняющие 1 функции. С₁. Самодвойственные функции. S. Линейные функции. L. Монотонные функции. M.

Теорема. Каждый из классов С₀, С₁, S, L, M замкнут относительно композиции.

§ 9. Теорема Поста

Теорема Поста^. Множество F булевых функций является полным тогда и только тогда, когда оно не содержится ни в одном из классов С₀, С₁, S, L, M.

Глава II.

Формальные языки первого порядка (Логика предикатов)

§ 1. Высказывательные формы. Кванторы

Высказывательные формы. Предикаты. Логические операции над ними. Кванторы. Грамматика и семантика кванторов. Геометрическое истолкование кванторов.

§ 2. Алфавит и грамматика языков первого порядка

Алфавит, грамматика и семантика формального языка.

Алфавит – перечень всех знаков, с помощью которых составляются все ЗС данного формального языка.

Грамматика – перечень правил, с помощью которых составляются некоторые категории ЗС – так называемые ППЗС, которые считаются осмысленными в данном языке. Эти правила позволяют также классифицировать ППЗС.

Семантика – совокупность правил, с помощью которых ППЗС придается смысл.

Общие требования к алфавиту, грамматике, семантике.

1. Считается, что мы умеем воспроизводить, распознавать и отождествлять два конкретных начертания данного знака и различать различные знаки.

2. Нас не интересует физическое строение знаков. Вместо этого мы предполагаем, что знаки обладают новым содержанием. Смысл его заключается в форме знаков и возможности их различного сочетания. Ввиду того, что форма знаков и ЗС будет определять их содержание, языки и называются формальными.

3. Знаки алфавита и правила их сочетания должны обеспечить однозначное прочтение ЗС.

4. Правила грамматики должны обеспечить выяснение, является ли ППЗС произвольное ЗС, а в случае положительного ответа, определять категорию этого ППЗС.

5. Правила семантики, придающие смысл ППЗС, должны это делать единственным образом.

Алфавит, категории алфавита: C,V, F, R, L, S.

L_Set, L_Ar.

Определение терма.

Определение формулы.

Соглашения об употреблении греческих букв в метаязыке.