ПЛАН-КОНСПЕКТ КУРСА

“МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА”

Сокращения, используемые в курсе

ЗС – знакосочетание.

ППЗС – правильно построенное знакосочетание (терм или формула).

ЯПП – язык первого порядка.

ВП – высказывательная переменная.

ВС – высказывательная схема.

ТПП – теория первого порядка.

ИП – исчисление предикатов.

ПНФ – предварённая нормальная форма.

План курса лекций

1. Введение. ВС. Истинностные значения ВС. Тавтологии.

2. Равносильность ВС. Равносильные преобразования ВС.

3. Отношение следования. Необходимое и достаточное условия. Правильные рассуждения.

4. КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ. Принцип двойственности.

5. Булевы функции. Многочлены Жегалкина.

6. Классы булевых функций. Теорема Поста.

7. Высказывательные формы. Кванторы. Геометрическое истолкование кванторов.

8. Языки первого порядка. Синтаксис и семантика ЯПП. Истинностные значения формул.

9. Логически истинные формулы.

10. Дедуктивная сила и равносильность формул.

11. Свойства кванторов. Алфавитные варианты.

12. Распределительные законы для кванторов. ПНФ.

13. Типовые кванторы.

14. Исчисление высказываний. Выводимость из гипотез.

15. Теорема дедукции. Принцип приведения к абсурду. Максимальные множества. Теорема полноты ИВ.

16. Теории первого порядка. Некоторые методы доказательства.

17. Модели теорий первого порядка.

Глава I. Логика высказываний

§ 1. Высказывательные схемы

Высказывания и логические операции над ними. Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Истинностные значения высказываний.

Высказывательные переменные. Высказывательные схемы (индуктивное определение).

Правила опускания скобок.

Подстановка А и одновременная подстановка A .

Теорема 1. Грамматические свойства подстановок

1°. Если А и В – ВС, X_j – ВП, то А также ВС.

2°^. Если А и В₁, В₂, …, В_n – ВС, – ВП, то A также ВС.

3°^. Если А, В, С – ВС и А₁ получено из А заменой некоторых вхождений В на С, то А₁ также ВС.

Таблицы истинности.

Тавтологии, противоречивые, выполнимые, опровержимые ВС. ⊨.

§ 2. Свойства тавтологий

Теорема 1. Свойства тавтологий

1°. ⊨ А и ⊨ В Û ⊨АÙВ.

2°. ⊨ А или ⊨В Þ ⊨АÚВ.

3°. ⊨А и ⊨А®В Þ ⊨В.

4°. ⊨А Þ ⊨ØА®В для любой ВС В.

5°. ⊨А Þ⊨В®А для любой ВС В.

6°. ⊨А Þ ⊨А для любой ВС В и любой ВП X_j.

7°. ⊨А Þ ⊨A для любых ВС В₁, В₂, …, В_n и любых ВП .

Теорема 2. Перечень важнейших тавтологий

1. X®X

2. X«X

3. ØØX«X

4. ØXÚX

5. Ø(XÙØX)

6. XÙY®X, XÙY®Y

7. XÙX«X

8. XÙY«YÙX

9. XÙ(YÙZ)«(XÙY)ÙZ

10. X®XÚY, Y®XÚY

11. XÚX«X

12. XÚY«YÚX

13. XÚ(YÚZ)«(XÚY)ÚZ

14. XÙ(YÚZ)«(XÙY)Ú(XÙZ)

15. XÚ(YÙZ)«(XÚY)Ù(XÚZ)

16. (X®YÙZ)«(X®Y)Ù(X®Z)

17. (XÚY®Z)«(X®Z)Ù(Y®Z)

18. (X®Y)Ù(ØX®Y)«Y

19. Ø(XÙY)«ØXÚØY

20. Ø(XÚY)«ØXÙØY

21. (X®Y)«ØXÚY

22. Ø(X®Y)«XÙØY

23. (X®Y)«Ø(XÙØY)

24. (X«Y)«(X®Y)Ù(Y®X)

25. (X«Y)«(Y«X)

26. (X«Y)Ù(Y«Z)®(X«Z)

27. (X®Y)«(ØY®ØX)

28. (X®Y)®(XÙZ®YÙZ)

29. (X®Y)®(XÚZ®YÚZ)

30. (X®Y)®((Y®Z)®(X®Z))

31. (X®Y)®((Z®X)®(Z®Y))

32. X®(Y®Z)«Y®(X®Z)

33. X®(Y®Z)«(XÙY®Z)

34. (X®Y)«(X®XÙY)

35. (X®Y)«(XÚY®Y)

36. X®(Y®XÙY)

37. X®(Y®X)

38. ØX®(X®Y)

39. (X®(Y®Z))®((X®Y)®(X®Z))

40. (ØX®Y)®((ØX®ØY)®X)

41. (ØX®YÙØY)®X

42. X®(XÙY«(ØXÚY))

43. X®((X®Y)«(X«Y))

44. X®((X«Y)«Y)

45. Y®((X®ØY)«(X«ØY))

46. Y®((X®ØY)«ØX))

47. XÙ(X®Y)«XÙY

48. (X®YÚZ)®(X®Y)ÚXÙZ

Примечание. Тавтологии 1 и 2 называются законами тождества, 3 – закон двойного отрицания, 4 – закон исключенного третьего, 5 – закон противоречия, 7 и 11 – идемпотентность конъюнкции и дизъюнкции, 8 и 12 – коммутативность, 9 и 13 – ассоциативность, 14 и 15 – законы дистрибутивности, 16 – закон соединения и разъединения заключений, 17 – закон соединения и разъединения посылок, а также (ещё чаще) – закон перебора случаев, 19 и 20 – законы де-Моргана, 21 и 23 – определения импликации, 22 – отрицание импликации, 24 – определение эквиваленции, 25 – симметричность эквиваленции, 26 – транзитивность эквиваленции, 27–31 – законы импортации, кроме того, 27 – закон контрапозиции, 32 – закон перестановки посылок, 33 – закон соединения и разъединения посылок, 34 – закон присоединения заключения, 35 – закон присоединения условия, 37 – ‘истина следует из чего угодно’, 38 – ‘изо лжи следует что угодно’, 39 – самодистрибутивность импликации, 40–41 – законы противоречия, 42–46 – законы поглощения.