
- •План-конспект курса «Дискретная математика»
- •Глава 1. Размещения, перестановки, сочетания
- •§ 1. Правило суммы и правило произведения
- •§ 2. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями
- •§ 3. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Полиномиальная теорема
- •§ 4. Системы счисления (систематические числа)
- •Глава 2. Элементы теории графов
- •§ 1. Основные понятия теории графов
- •§ 2. Связные графы
- •§ 3. Деревья
- •§ 4. Плоские (планарные) графы
- •§ 4. Обходы графов
- •§ 6. Раскраски графов (цветные графы)
- •Глава 3. Производящие функции и рекуррентные соотношения
- •§ 1. Формальные степенные ряды
- •§ 2. Дифференцирование и интегрирование формальных степенных рядов
- •Некоторые простейшие производящие функции
- •§3. Рекуррентные соотношения. Задачи, приводящие к рекуррентным соотношениям
- •§ 4. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами
- •Глава 4. Конечные разности и суммы
- •§ 1. Конечные разности
- •§ 2. Факториальные многочлены
- •§ 3. Числа Стирлинга II рода
- •§ 4. Числа Стирлинга I рода
- •§ 5. Оператор суммирования
- •§ 6. Некоторые способы вычисления сумм
- •§ 7. Иерархия функций. Теорема Харди
- •§ 8. Символ о
- •Глава 5. Булевы функции
- •§ 1. Булевы функции
- •§ 2. Кнф днф. Скнф и сднф
- •§ 3. Полиномы Жегалкина
- •§ 4. Замкнутые классы булевых функций
- •§ 5. Теорема Поста
- •Литература
- •Вопросы экзамена
- •Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями.
Глава 5. Булевы функции
§ 1. Булевы функции
Булевы функции и их композиция. Количество булевых функций от n переменных. Каталоги одноместных и бинарных булевых функций.
Высказывательные схемы в базисе F. ВС(F).
Полные и независимые множества булевых функций F.
§ 2. Кнф днф. Скнф и сднф
Литеры. Контрарные литеры. Высказывательные схемы с тесными отрицаниями.
Теорема 1. Всякая высказывательная схема равносильна высказывательной схеме с тесными отрицаниями.
Конъюнкты и дизъюнкты. ДНФ и КНФ.
Полные конъюнкты и дизъюнкты над списком Х1, Х2, …, Хn. СДНФ и СКНФ.
Теорема 2. Всякая высказывательная схема равносильна некоторой ДНФ и некоторой КНФ.
Теорема 3. 1°. Всякая высказывательная схема над списком Х1, Х2, …, Хn, не являющаяся противоречивой, единственным образом представляется в виде СДНФ.
2°. Всякая высказывательная схема над списком Х1, Х2, …, Хn, не являющаяся тавтологией, единственным образом представляется в виде СКНФ.
§ 3. Полиномы Жегалкина
Одночлены и многочлены над списком Х1, Х2, …, Хn.
Теорема. Всякая булева функция от n переменных единственным образом представляется в виде многочлена Жегалкина.
§ 4. Замкнутые классы булевых функций
Сохраняющие 0 функции. Сохраняющие 1 функции. Самодвойственные функции. Линейные функции. Монотонные функции. С0. С1. S. L. M.
Теорема. Каждый из классов С0, С1, S, L, M замкнут относительно композиции.
§ 5. Теорема Поста
Теорема Поста. Множество F булевых функций является полным тогда и только тогда, когда оно не содержится ни в одном из классов С0, С1, S, L, M.
Лемма 1. Если fS, то константы 0 и 1 можно выразить через f и .
Лемма 2. Если f M, то можно представить как суперпозицию f и констант 0 и 1.
Лемма 3. Если f L, то можно выразить через f, и константы 0 и 1.
Следствие. Всякий полный независимый базис для класса всех булевых функций содержит не более 4 функций.
Литература
Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. – М.: Вильямс, 2003.
Галушкина Ю.И., Марьямов А.Н. Конспект лекций по дискретной математике. – М.: Айрис Пресс, 2007.
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 2006
Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. – М.: Вузовская книга, 2000.
Матросов В.Л., Стеценко В.А. Лекции по дискретной математике. – М.: Прометей, 1997.
Романовский И.В. Дискретный анализ. – СПб.: Невский диалект, 2003.
Харари Ф. Теория графов и её применения. – М.: Мир, 1973.
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 2001.
Вопросы экзамена
Правило суммы и правило произведений. Правило включений и исключений.
Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями.
Бином Ньютона. Полиномиальная теорема.
Свойства сочетаний (свойства биномиальных коэффициентов).
Основные понятия теории графов: псевдографы, мультиграфы, графы, их ориентированные аналоги. Подграфы. Изоморфизм графов.
Геометрическое представление графов. Реализация в R3.
Терема о сумме степеней вершин графа и её следствие.
Матрицы инцидентности и смежности.
Маршрут (путь), цепь, простая цепь, замкнутый маршрут (путь), цикл, простой цикл.
Отношение связности. Компоненты связности. Связные графы. Операции «добавление ребра и «удаление ребра».
Деревья. Характеризационная теорема.
Алгоритм Краскала отыскания оптимального каркасного дерева.
Плоские (планарные) графы. Формула Эйлера.
Следствия формулы Эйлера.
Существование неплоских графов. Критерий неплоского графа Понтрягина-Куратовского.
Раскраски графа. Двудольные графы. Теорема Кёнига.
Раскраска плоского графа 5 красками. Проблема 4 красок.
Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости графа.
Гамильтоновы графы.
Формальные степенные ряды.
Дифференцирование и интегрирование формальных степенных рядов. Основной принцип теории производящих функций.
Рекуррентные соотношения. Задачи, приводящие к рекуррентным соотношениям.
Рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами.
О связи между линейными однородными рекуррентными соотношениями с постоянными коэффициентами и формальными степенными рядами.
Конечные разности.
Факториальные многочлены.
Числа Стирлинга II рода.
Числа Стирлинга I рода.
Оператор суммирования.
Некоторые способы вычисления сумм.
Иерархия функций. Теорема Харди.
Символы о, О, .
Булевы функции и их композиция. Полные и независимые множества булевых функций.
КНФ ДНФ. СКНФ и СДНФ.
Полиномы Жегалкина.
Замкнутые классы булевых функций.
Теорема Поста.