Глава 5. Булевы функции

§ 1. Булевы функции

Булевы функции и их композиция. Количество булевых функций от n переменных. Каталоги одноместных и бинарных булевых функций.

Высказывательные схемы в базисе F. ВС(F).

Полные и независимые множества булевых функций F.

§ 2. Кнф днф. Скнф и сднф

Литеры. Контрарные литеры. Высказывательные схемы с тесными отрицаниями.

Теорема 1. Всякая высказывательная схема равносильна высказывательной схеме с тесными отрицаниями.

Конъюнкты и дизъюнкты. ДНФ и КНФ.

Полные конъюнкты и дизъюнкты над списком Х₁, Х₂, …, Х_n. СДНФ и СКНФ.

Теорема 2. Всякая высказывательная схема равносильна некоторой ДНФ и некоторой КНФ.

Теорема 3. 1°. Всякая высказывательная схема над списком Х₁, Х₂, …, Х_n, не являющаяся противоречивой, единственным образом представляется в виде СДНФ.

2°. Всякая высказывательная схема над списком Х₁, Х₂, …, Х_n, не являющаяся тавтологией, единственным образом представляется в виде СКНФ.

§ 3. Полиномы Жегалкина

Одночлены и многочлены над списком Х₁, Х₂, …, Х_n.

Теорема. Всякая булева функция от n переменных единственным образом представляется в виде многочлена Жегалкина.

§ 4. Замкнутые классы булевых функций

Сохраняющие 0 функции. Сохраняющие 1 функции. Самодвойственные функции. Линейные функции. Монотонные функции. С₀. С₁. S. L. M.

Теорема. Каждый из классов С₀, С₁, S, L, M замкнут относительно композиции.

§ 5. Теорема Поста

Теорема Поста^. Множество F булевых функций является полным тогда и только тогда, когда оно не содержится ни в одном из классов С₀, С₁, S, L, M.

Лемма 1. Если fS, то константы 0 и 1 можно выразить через f и .

Лемма 2. Если f M, то  можно представить как суперпозицию f и констант 0 и 1.

Лемма 3. Если f  L, то  можно выразить через f,  и константы 0 и 1.

Следствие. Всякий полный независимый базис для класса всех булевых функций содержит не более 4 функций.

Литература

1. Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. – М.: Вильямс, 2003.

2. Галушкина Ю.И., Марьямов А.Н. Конспект лекций по дискретной математике. – М.: Айрис Пресс, 2007.

3. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. М.: Мир, 2006

4. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. – М.: Вузовская книга, 2000.

5. Матросов В.Л., Стеценко В.А. Лекции по дискретной математике. – М.: Прометей, 1997.

6. Романовский И.В. Дискретный анализ. – СПб.: Невский диалект, 2003.

7. Харари Ф. Теория графов и её применения. – М.: Мир, 1973.

8. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 2001.

Вопросы экзамена

1. Правило суммы и правило произведений. Правило включений и исключений.

2. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями.

3. Бином Ньютона. Полиномиальная теорема.

4. Свойства сочетаний (свойства биномиальных коэффициентов).

5. Основные понятия теории графов: псевдографы, мультиграфы, графы, их ориентированные аналоги. Подграфы. Изоморфизм графов.

6. Геометрическое представление графов. Реализация в R³.

7. Терема о сумме степеней вершин графа и её следствие.

8. Матрицы инцидентности и смежности.

9. Маршрут (путь), цепь, простая цепь, замкнутый маршрут (путь), цикл, простой цикл.

10. Отношение связности. Компоненты связности. Связные графы. Операции «добавление ребра и «удаление ребра».

11. Деревья. Характеризационная теорема.

12. Алгоритм Краскала отыскания оптимального каркасного дерева.

13. Плоские (планарные) графы. Формула Эйлера.

14. Следствия формулы Эйлера.

15. Существование неплоских графов. Критерий неплоского графа Понтрягина-Куратовского.

16. Раскраски графа. Двудольные графы. Теорема Кёнига.

17. Раскраска плоского графа 5 красками. Проблема 4 красок.

18. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости графа.

19. Гамильтоновы графы.

20. Формальные степенные ряды.

21. Дифференцирование и интегрирование формальных степенных рядов. Основной принцип теории производящих функций.

22. Рекуррентные соотношения. Задачи, приводящие к рекуррентным соотношениям.

23. Рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами.

24. О связи между линейными однородными рекуррентными соотношениями с постоянными коэффициентами и формальными степенными рядами.

25. Конечные разности.

26. Факториальные многочлены.

27. Числа Стирлинга II рода.

28. Числа Стирлинга I рода.

29. Оператор суммирования.

30. Некоторые способы вычисления сумм.

31. Иерархия функций. Теорема Харди.

32. Символы о, О, .

33. Булевы функции и их композиция. Полные и независимые множества булевых функций.

34. КНФ ДНФ. СКНФ и СДНФ.

35. Полиномы Жегалкина.

36. Замкнутые классы булевых функций.

37. Теорема Поста.

20