§ 3. Числа Стирлинга II рода

Определение чисел Стирлинга II рода. .

Примеры

= 1, = 1, = 0, = 0, = 2^n–1–1.

Теорема 1. Числа Стирлинга II рода удовлетворяют рекуррентному соотношению

= +k

при n > 0.

Аналог треугольника Паскаля для чисел Стирлинга II рода.

Теорема 2. Числа Стирлинга II рода являются коэффициентами в разложении обычных степеней по факториальным степеням: xⁿ = .

§ 4. Числа Стирлинга I рода

Определение цикла. (₁₂ … _k).

Теорема 1. Всякая подстановка представляется в виде произведения попарно непересекающихся циклов, причём единственным образом.

Определение чисел Стирлинга I рода. .

Примеры

= 11, = (n–1)!, = = 1, = = .

Теорема 2. Числа Стирлинга I рода удовлетворяют рекуррентному соотношению

= +(n–1)

при n > 0.

Аналог треугольника Паскаля для чисел Стирлинга II рода.

Теорема 3. Числа Стирлинга I рода равны абсолютным величинам коэффициентов разложения факториальных степеней многочлена по обычным степеням:

.

§ 5. Оператор суммирования

В этом параграфе будет рассмотрен оператор  как обратный к оператору , и являющийся дискретным аналогом процедуры отыскания первообразной функции в курсе анализа.

Примечания.

На самом деле, из равенства F(x) = f(x) следует равенство f(x) = F(x)+С, где С – произвольная постоянная.

Из равенства F(x) = 0 не следует, что F(x) = С. Например, в качестве F(x) может выступать функция F(x) = sin2x. Однако для многочленов, рациональных функций и показательных функций, а именно эти функции будут рассмотрены в дальнейшем, – это действительно так.

Из определения оператора суммирования и того факта, что оператор конечной разности является линейным оператором, следует, что оператор суммирования также обладает свойствами линейности и однородности:

1. f+g = f+g.

2. f = f.

Справедливы следующие формулы для вычисления значений оператора суммирования для функций:

1. x = +C;

2. a^x = +C, в частности, 2^x = 2^x+С;

3.  = +C.

Теорема. Суммирование по частям

f(x)g(x) = f(x)g(x) – E(g(x))f(x)+C.

Рассмотрим теперь суммы, которые являются аналогами определённых интегралов из курса анализа.

Пусть

f(x) = F(x) = F(x+1) – F(x).

Тогда

= = F(n+1) – F(1).

Обозначим F(n+1) – F(1) через F(x) .

Последнее равенство является одним из самых полезных свойств оператора суммирования и часто используется при вычислении различных сумм.

Пример. Найти сумму 1²+2²+3²+ … +n².

Завершим параграф рассмотрением ещё одного примера, при решении которого используется теорема о суммировании по частям.

Пример. Вычислить сумму .

§ 6. Некоторые способы вычисления сумм

На примере вычисления суммы S_n = 1²+2²+3²+ … +n² рассмотрим некоторые способы вычисления такого рода сумм.

1 способ. Узнать и доказать методом математической индукции.

2 способ. Использование приёмов рассуждений, известных из элементарной математики.

3 способ. Использование рекуррентного линейного соотношения с постоянными коэффициентами.

4 способ. Использование конечных разностей.

5 способ. Использование оператора суммирования.

6 способ. Использование производящих функций.

Вычислить значения сумм:

1.

2.

3.

Мы ограничимся ответами и указаниями, оставляя подробности читателям.

1. 3ⁿ: вычислить значение бинома (x+1)ⁿ при x = 2.

2. n3^n–1: вычислить значение производной от (x+1)ⁿ при x = 2..

3. : вычислить значение первообразной от (x+1)ⁿ при x = 1.